四邊形變式問題的解題策略

楊東興

“讓學生受到觀察、聯想、類比、歸納、猜想、抽象概括、分析和綜合等方法的熏陶，發揮數學學科重視考察學生的基礎能力，著眼于發展學生綜合能力的特點.”近幾年來數學中考的變式題型就體現了這個特點，尤其是每年各地市的試卷里都有關于四邊形綜合題的變式題.這類題也是中考中難度較大的一類題.那么，變式題有哪些特點呢？有沒有什么好的解決方法呢？下面我們就以近年來黑龍江省各地市的一些中考題為例進行說明.

例1：（2014年 黑龍江省綏化市）在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF中點，連接PG，PC.

（2）如圖2，當點F在AB的延長線上時，線段PC，PG有怎樣的數量關系，寫出你的猜想，并給予證明；

（3）如圖3，當點F在CB的延長線上時，線段PC，PG又有怎樣的數量關系，寫出你的猜想.（不必證明）

【點評】

本題主要考察了菱形的性質，以及全等三角形的判定等知識點.根據已知和所求的條件正確地構建出相關的全等三角形是解題的關鍵.

例2：（2015年 黑龍江省龍東地區）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在直線BC上，連接AE將△ABE沿AE所在直線折疊，點B的對應點B'，連接AB'，并延長直線交DC于點F.

（1）當點F與點C重合時如圖4，易證：DF+BE=AF（不需證明）；

（2）當點F在DC的延長線上時如圖5，當點F在CD的延長線上時，如圖6，線段DF，BE，AF有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明.

【解析】

根據折疊的圖形全等這個特點得出全等，再根據正方形對角線平分角相等，得到相等的邊，然后根據等量代換得到需要證明的結論，第（2）問中圖5、圖6與圖4證明方法相同，并且同學們通過仔細觀察，能夠得出正確的數量關系，圖5：DF+BE=AF，圖6：DF+AF=BE，證明過程同第（1）問.

【點評】

這是一道四邊形綜合題.本題主要考察正方形的性質，全等三角形的判定等知識，找出全等關系是解題關鍵.

例3：（2014年 黑龍江省齊齊哈爾市）在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°， AB=AC，直線MN過點A且MN平行BC，以點B為一銳角頂點作Rt△BDE，∠BDE=90°，且點D在直線MN上（不與點A重合）如圖7，DE與AC交于點P，易證BD=DP （無需證明過程）。

（1）在圖8中，DE與CA延長線交于點P，BD=DP是否成立，請說明理由；

（2）在圖9中，DE與AC延長線交于點P，BD與DP

是否相等？請直接寫出你的結論.

【解析】

證明方法與例1、例2類似，都是由第（1）問中“易證”的結論得到解題的證明方法，然后仔細觀察，一定能得到第（2）問或第（3）問的數量關系和證明方法，輔助線做法也都與第（1）問相似.

【點評】

本題主要考察全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，平行線的性質等知識，作輔助線構造全等三角形是解題關鍵.

例4：（2015年 黑龍江省牡丹江市）已知四邊形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角頂點E在直線BC上（不與點B、C重合），FM⊥AD，交射線AD于點M.

（1）當點E在邊BC上，點M在邊AD的延長線上時，如圖10，求證：AB+BE=AM；

（提示：延長MF，交邊BC的延長線于點H.）

（2）當點E在邊CB的延長線上，點M在邊AD上時，如圖11；當點E在邊BC的延長線上，點M在邊AD上時，如圖12. 請分別寫出線段AB，BE，AM之間的數量關系，不需要證明；

【解析】

（1）首先利用等腰直角三角形的性質和正方形的性質得AE=EF，∠ABE=∠EHF=90°，利用全等三角形的判定定理證明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性質定理可得結論；

（2）同（1）首先證明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性質定理可得結論；

（3）利用分類討論的思想，首先由∠AFM=15°，易得∠EFH，由△ABE≌△EHF，根據全等三角形的性質易得∠AEB，利用銳角三角函數易得AB，利用（1）（2）的結論，易得AM.

【點評】

本題考查的仍是四邊形綜合題. 本題主要考查了等腰直角三角形的性質，正方形的性質，全等三角形的性質及判定定理.數形結合、分類討論和前面問題的結論是解答此題的關鍵.

以上幾道中考變式題有一個共同的特點：通過適當的變化，在問題情境中運用已經學過的知識來解決問題. 同學們做這類題的時候不要緊張，要先審好題，一般第一問中的證明方法也同樣適用于其他問題，其次是仔細觀察圖形的變化和所求的數量關系產生的變化，然后利用已知圖形的性質，做相應的輔助線來證明等等。做輔助線的正確與否是解題關鍵點，也是難點.只要同學們在日常練習中認真學習，歸納日常練習或測試中做過的這類題型的輔助線做法，就能達到“心中有數”，所以此類變式題，看似變化莫測，實則百變不離基礎.功夫在平時，重在積累、歸納、抓住規律.