例談構建數學模型解決基因頻率相關問題

馬蘭萍++閆芳

所謂數學模型，就是為了某種目的，用字母、數字及其他數學符號建立起來的等式或不等式，以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式。在生物學科教學中，數學模型對學生理科思維培養和訓練能起到一定的作用。

高中生物學科的考查以描述性的語言為主，于是很多學生認為只要記住、理解基礎知識就可以了，他們并不善于運用數學工具解決生物學上的一些問題。而在生物《必修2·遺傳與進化》中，許多問題的解決需要靈活運用數學知識，如種群是生物進化的基本單位，生物進化的實質是種群基因頻率的改變。在近幾年的高考中均有對基因頻率和基因型頻率計算的考查，因此在高考復習中如何幫助學生構建數學模型，用數學方法討論基因頻率和基因型頻率的變化，是急需解決的問題。筆者精選了2013年山東高考題中的一道典型試題，探討數學模型的構建過程。

（2013·山東卷）用基因型為Aa的小麥分別進行連續自交、隨機交配、連續自交并逐代淘汰隱性個體、隨機交配并逐代淘汰隱性個體，根據各代Aa基因型頻率繪制曲線如圖1，下列分析錯誤的是（ ）

A. 曲線Ⅱ的F3中Aa基因型頻率為0.4

B. 曲線Ⅲ的F2中Aa基因型頻率為0.4

C. 曲線Ⅳ的Fn中純合體的比例比上一代增加（1/2）n+1

D. 曲線Ⅰ和Ⅳ的各子代間A和a的基因頻率始終相等

答案：C。

本題為2013年山東理綜卷生物選擇題的壓軸題，考查的是分離定律的應用，涉及到基因頻率和基因型頻率的計算，難度比較大，對考生獲取信息、圖文轉換、綜合分析問題等方面的能力要求較高。因此，在高考復習中，筆者將此題作為典型例題，引導學生仔細分析，推導出相關公式，聯系對應曲線，構建起相關的數學模型，從而解決題目中的問題。

首先，四條曲線起點都是1，分別與題干中四種情況存在對應關系，需要教師引導學生先從簡單熟悉的情況著手。

曲線Ⅰ從F1代之后Aa的基因型頻率穩定在0.5，說明種群處于遺傳平衡狀態（即種群非常大，雌雄個體自由交配并產生后代，無自然選擇，無基因突變，沒有遷入遷出），所以曲線Ⅰ對應的是Aa小麥隨機交配的情況。

曲線Ⅳ對應的數值變化，符合y=（1/2）n函數曲線，是Aa連續自交后代中雜合子的基因型頻率（圖2）。

曲線Ⅲ距離曲線Ⅳ比較近，可能是連續自交并逐代淘汰隱性個體后Aa的基因型頻率。這種猜測是否正確呢？這需要進行科學分析和計算。已知Aa進行連續自交n代：Aa基因型頻率=1/2n，AA基因型頻率=aa基因型頻率=1/2（1-1/2n）；淘汰隱性個體后，代入數值化簡，得到Aa=2/（2n+1）。

曲線Ⅱ可能對應Aa隨機交配并逐代淘汰隱性個體的情況。對此，進行推導：

Aa隨機交配一代，F1中AA∶Aa∶aa=1∶2∶1，淘汰aa后，AA∶Aa=1∶2，Aa占2/3，曲線Ⅱ與Ⅲ在此處相交于一點。

F1中a基因頻率=1/3，A基因頻率=2/3，隨機交配，F2中AA∶Aa∶aa=4/9∶4/9∶1/9，淘汰aa后，AA=Aa=1/2=2/4。

F2中a基因頻率=1/4，A基因頻率=3/4，隨機交配，F3中AA∶Aa∶aa=9/16∶6/16∶1/16，淘汰aa后，AA∶Aa=3∶2，Aa占2/5。

F3中a基因頻率=1/5，A基因頻率=4/5，隨機交配，F3中AA∶Aa∶aa=16/25∶8/25∶1/25，淘汰aa后，AA∶Aa=2∶1，Aa占1/3=2/6。

……

由此，Aa隨機交配n代并逐代淘汰隱性個體后Aa=2/（n+3）

在這道試題的解決過程中，教師引導學生運用邏輯推理、構建出不同題境下的數學表達式，并識別符合特定條件的曲線，提高了解題速度，豐富了學生闡述和呈現生物學現象、特征、生命規律的表達形式，有利于學生體會學科間的聯系，有利于培養和訓練學生理科思維，提高學生的綜合素質。