分類討論思想在初中數學解題教學中的運用

楊琳

數學思想是人們在長期的實踐經驗和社會生活中得出的有關現實世界的數量關系、空間結構等科學意識的反應，是人類思維活動的結晶。數學思想在漫長的歷史演變中逐漸發展，幫助人類掌握學習知識的技巧，提供最優質的解決方案，常見的數學思想包括數形結合、分類討論、換元思想、函數與方程、等效思想等等。本文就以分類討論思想為例，探討其在初中數學中的具體運用。

一、分類討論思想的意義

分類討論思想其最主要本質就是“化整為零，積零為整”的解題策略。當我們在解決數學問題時，當所面對的問題不能進行整體統一的研究時，根據數學的本質屬性需進行分類討論和研究，這種邏輯思維解決方法就是“分類討論思想”。而分類討論思想在中學數學中，歷年是考試的側重點，主要是考查學生對于知識面的分析能力和解題思路技巧，分類討論思想不僅有利于提高學生在學習數學中的廣泛興趣，還有利于培養思維能力的條理性和縝密性。學生可以通過分類討論思想掌握數學當中分類方法、一題多解和對知識結構認知的能力。在教學中，教師可以利用小組合作充分發揮分類討論的作用，為學生營造一種合作交流積極應變的氛圍。因此，分類討論思想可以有效地培養學生的思維靈活性和解題思路的能力，在初中數學解題應用中具有非常重要的作用和意義。

二、分類討論思想具體解題步驟探討

在學生能夠基本掌握分類討論思想的情況下，教師要引導學生運用正確的解題思路，大體可以從以下幾個方面去引導，一是要認真仔細閱讀題目，明白題目要考查的知識點；二是要明確分類討論的對象，列舉所有可能的結果，不可以遺漏，不可以重復；三是要討論出所有列舉問題的結論；四是要認真總結歸納，對于做過的題目要能夠總結出規律和解題思路。對于數學問題的研究要有效針對各種屬性的對象，研究的結果也自然會因為研究對象的不同而產生差異，因此對于不同的研究對象就需要采用不同的研究思想，又或者說在研究過程中出現了不同的狀況，就需要采用不同的分類研究的思想。

三、分類討論思想在初中數學解題教學中的運用實例分析

例1.已知：一次函數y=-x+8和反比例函數y=k/x（k≠0）；①當k滿足什么條件時，這兩個函數在同一直角坐標平面中的圖象有兩個交點？②設①中的兩個交點為A、B，試比較∠AOB同90°的大小。

分析：第①小題求得k<16且k≠0；解第②小題時，鑒于k<0或090°；當0

例2.讓|b+1|=|b|+1式子成立的條件是什么？

（A）b為任意實數值（B）b≥0（C）b≤0（D）b≠0

分析：在破解這道題目時，可以采用分類討論的思想，該題題干中等號兩邊的都含有絕對值符號，且已知條件中沒有給出實數b的具體取值范圍，因此絕對值符號去掉較為困難。此時我們可以通過“零點分段”的分類討論法，令|b+1|=0，|b|=0，可以分析得出b=0和b=-1；依次假設b<-1，b≥0，-1≤b≤0。

解：當b<-1時，該式中左邊=-（b+1），右邊=-b+1，左邊≠右邊；當-1≤b≤0時，左邊=b+1，右邊=-b+1，左邊≠右邊；當b≥0時，左邊=b+1，右邊=b+1，左邊=右邊。因此該題（B）為正確答案。

例3.某超市推出如下優惠方案：一次性購物不超過100元不享受優惠；一次購物超過100元，但是不超過300元一律9折；一次購物超過300元一律8折。王波兩次購物分別付款80元和252元。如果他一次性購買與上兩次相同的商品，則應付款為多少？

解：第一次購物顯然沒有超過100元，因為80/0.9=88，所以第一次實際購物價值為80元。第二次購物分兩種情況：第一種情況是不超過300元時，實際購物價值為252/0.9=280，又因為（80+280）×0.8=288，則應該付款總額為288元；另一種情況是實際購物價值超過300元，則實際購物價值是252/0.8=315，又因為（80+315）×0.8=316，所以應付款總額為316元。由此可得如果王波一次性購買與上兩次相同的商品，付款金額為288元或316元。

總之，在數學教學中，教師要轉變教育思想，努力創新教育方式，在課堂中不斷滲透分類討論的思想，在課后習題中加強分類討論思想的深化和運用，這樣才能幫助學生培養正確的分類討論思想，使其在以后的數學學習能夠更加輕松。并且，分類討論的思想也幫助學生們開拓了學習的思維，培養了嚴謹的學習態度和全面的思考方式，使其在以后的學習和生活中能夠受益終生。

作者單位 甘肅省平涼市華亭縣皇甫學校

編輯 張曉楠