淺議二次函數在生活中的應用

鄧發廣

隨著人類的發展，社會的進步，人們的生活水平也在不斷提高，人類對資源的需求量也在不斷增加，如何讓我們身邊的資源得到最充分的運用，如何讓同樣的付出得到更多的收獲，是我們當今的教育者也是當今社會中每一個人所關注的一個重要問題，本文以二次函數為例探討如何把數學知識應用到實踐中去。

一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）的函數叫作x的二次函數。

二次函數是描述現實世界變量之間關系的重要數學模型。

二次函數也是某些單變量最優化問題的數學模型，如生活中涉及的求最大利潤，最大面積等實際問題都與二次函數的極值有關。

二次函數的圖象——拋物線，也是人們最為熟悉的曲線之一。噴泉的水流，鉛球的投擲，籃球的投擲，跳水等都形成拋物路徑。同時，拋物線形狀在建筑上也有著廣泛的應用，如拋物線形拱橋，拋物線形隧道等。既然二次函數在我們生活中應用的如此廣泛，下面我就略舉幾例以供探討。

一、二次函數的極值在生活中的運用

1.在農業方面的應用

例1：據調查，某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結600個橙子，現準備多種一些橙子樹以提高產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少，根據經驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子，那么果園應增種多少棵橙子樹才合適？

解：設果園應增種x棵橙子樹，則增種橙子樹后每棵樹所結橙子為（600-5x）個，若用y表示果園中橙子的總數量，由題意可得：

∴當果園增種10棵橙子時，最合適，因為此時橙子總量最多為60500個。

2.在商業方面的應用

例2：某商場以每件42元的價錢購進一種服裝，根據試銷得知，若每件售價為50元，每天可以賣54件，當售價每上漲1元時，銷售量就會減少3件。

（1）寫出商場賣這種服裝每天的銷售利潤y與每件銷售價x之間的函數關系式（每天的銷售利潤是指所賣出服裝的銷售價與購進價的差）；

（2）通過對所得函數關系進行配方，指出：商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件的銷售價定為多少最為合適，最大銷售利潤為多少？

∴當每件的銷售價為55元時，可取得最大利潤，每天最大銷售利潤為507元。

3.在日常生活中的應用

例3：某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長（圖中所有黑線的長度和）為15m，當x取多少時，窗戶通過的光線最多？（π取3）

由此可得，當x=15/8時，窗戶面積最大為225/32m2，所以當x=15/8m時，窗戶通過的光線將最多。

由上述例子可以看出：在豐富的現實背景中，蘊涵著大量的與二次函數極值相關的問題，學生經歷探索，分析，抓住本質的條件，建立兩個變量之間的二次函數關系，進而達到解決問題的目的。

二、二次函數的圖象在生活中的應用

二次函數的圖象——拋物線是一種常見的圖形，利用圖象可以幫助人們分析、解決生活中的很多問題，下面我就圖象的應用略舉幾例。

1.在體育運動方面的應用

2.在建筑業方面的應用

（1）柱子OA的高度為多少米？

（2）噴出的水流距水平面的最大高度是多少米？

（3）若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米，才能噴出的水流不至于落在池外？

解：（1）當x=0時，y=5/4，所以水柱子OA的高度為5/4。

答：水池的半徑至少要2.5米，才能使噴出的水流不至于落在池外。

3.在交通業方面的應用

例6：如圖，這是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標系中的示意圖，橫斷面的地平線為x軸，橫斷面的對稱軸為y軸，橋拱的DGD′部分為一段拋物線，頂點G的高度為8米，AD和A′D′是兩側高為5.5米的支柱，OA和OA′為兩個方向的汽車通行區，寬都為15米，線段CD和C′D′為兩段對稱的上橋斜坡，其坡度為1∶4。

（1）求橋拱DGD′所在拋物線的解析式及CC′的長；

（2）BE和B′E′為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應的AB和A′B′為兩個方向的行人及非機動車通行區，求AB和A′B′的寬。

（3）按規定，汽車通過該橋下時，載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于0.4米，今有一大型貨汽車，裝載某大型設備后，其寬為4米，車載大型設備的頂部與地面的距離均為7米，它能否從OA（或OA′）區域安通過？請說明理由。

其實二次函數在我們生活中的應用是多方面的，在此，我只不過提到了其中的很小一部分，既然二次函數與我們的生活關系這么緊密，那我們還有什么理由不去學它，不去研究它，不去關注它呢？愿每一個喜歡數學的人都能在生活中靈活利用二次函數的極值、圖像等的知識來解決問題。同時，也希望我們能夠發現生活中與二次函數有關的模型，盡可能把我們所學的理論知識運用于實踐，對其進行加工改造，使其能更有效地發揮作用，為人類謀福利。

（作者單位：湖北省丹江口市紅旗中學）