恒成立問題的一般解法

趙麗金

高三數學復習中的恒成立問題，涉及一次函數、二次函數的性質、圖象，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用，因此也成為歷年高考的一個熱點。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：一、一次函數型；二、二次函數型；三、變量分離型；四、根據函數的奇偶性、周期性等性質；五、直接根據函數的圖象。

一、一次函數型

三、變量分離型

若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解。

五、直接根據圖象判斷

若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對于選擇題、填空題，這種方法更顯方便、快捷。

（作者單位：江西省贛州贛縣中學北區）