函數零點與參數的關系*

●章禮抗　　(浮山中學　安徽樅陽　246736)

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函數零點與參數的關系*

●章禮抗(浮山中學安徽樅陽246736)

摘要：根據函數的零點多少來確定表達式中參數的取值范圍.一般結合函數的圖像和分段函數的值域，以及函數的性質來確定參數的大小和取值范圍.

關鍵詞：零點;圖像;值域;參數

近期高三復習時，整理了一個“函數零點與參數關系”專題訓練.結果有些題目，有部分學生根本不會解，有的學生雖然能動手做，但是錯誤很多.為什么高考中會高頻率地出現這類問題？筆者認為它不僅能考查學生的函數基礎知識，關鍵是它還能考查學生分析問題和解決問題的潛能，因此這類問題一直是高考中高頻率出現的題型.筆者就近幾年出現的這類問題進行剖析，以便能更好地切中命題的要害.

1與直線斜率相結合的類型

此類問題多是確定直線的斜率，這就必然要與極限點發生內在聯系，與斜率公式聯系.

(2015年安徽省數學高考模擬試題)

上述構造的點都在第一象限，有興趣的讀者可自行構造并證明在其他象限的情況.

4延伸拓展

拋物線的軌跡并不是由動點到2個定點的斜率乘積為定值產生，有怎樣類似的構造方法呢？受前面構造方法啟示，得到以下拓展：

圖5

證明不妨設Li為第i個交點，設點Li的坐標為(x,y)，由平面幾何知

x2=2ay.

教材后面的習題與解答是專家編者經過深思熟慮、反復斟酌確定的，但新課程要求具備勇于自主探究的精神，因此作為教師和學生都應該具備質疑精神，反思教材、教參的意圖，不斷進行挖掘和探索，真正做到“用教材教”，而不是照本宣科的“教教材”.

分析令f(x)=0,則

構建函數，并作出圖像，根據極限點即可求出k的取值范圍.

解由題意知：令f(x)=0,則

取g(x)=kx-2,

圖1

作圖像如圖1所示，g(x)表示過(0，-2)的直線，將A(1，-2)代入得k=0;將B(1,2)代入得k=4，從而k∈(0,1)∪(1,4).

說明此類問題一般比較簡單，準確作圖是解決問題的核心.

2與函數的值域關系類型

此類問題主要根據函數的值域來確定零點，從而確定參數的取值范圍.

例2已知函數f(x)=sinx+2|sinx|-k,x∈[0,2π]有且僅有2個零點，則k的取值范圍______.

(2015年安徽省數學高考模擬試題)

分析由題意可知

k=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π],

可作出y=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的圖像.再根據函數的值確定有2個零點時，參數取值范圍.

解由題意可知

k=sinx+2π,x∈[0,2π],

可作出y=sinx+2π,x∈[0,2]的圖像如圖2所示,由圖像可知1

圖2 圖3

()

(2015年天津市數學高考理科試題)

從而y=f(x)+f(2-x)=

即

于是y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b,

說明此類問題多采用數形結合思想方法來解決，不易出錯.

3與函數極值有關的類型

此類問題多是要判斷函數的極值點，再根據極值的正負來判定零點的個數,從而確定參數的取值范圍.

例4設x3+ax+b=0，其中a,b均為實數，下列條件中，使得該三次方程僅有1個實根的是______(寫出所有正確條件的編號).

①a=-3,b=-3；②a=-3,b=2；③a=-3,b>2；④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.

(2015年安徽省數學高考理科試題)

分析三次函數的圖像與x軸的交點個數，主要是看極大值與極小值的符號，求出導數后找到極值點、極值，再結合圖形判斷零點個數.根據學生的練習發現出錯點主要有：

1)不明確f(x)=ax3+bx2+cx+d當a>0時，其圖像大致形狀是如圖4所示;當a<0時，其圖像大致形狀是如圖5所示.

圖4 圖5

2)不會根據零點存在定理判斷零點個數.

解令f(x)=x3+ax+b,則

f′(x)=3x2+a.

①當a=b=-3時,

f(x)=x3-3x-3,

則

f′(x)=3x2-3，

從而

f(x)max=f(-1)=-1<0,

f(x)min=f(1)=-5<0,

函數的圖像與x軸只有1個交點，故x3+ax+b=0僅有1個實根.

②當a=-3,b=2時,

f(x)=x3-3x+2,

則

f′(x)=3x-3,

從而

f(x)max=f(-1)=4>0,

f(x)min=f(1)=0,

函數的圖像與x軸只有2個交點，故x3+ax+b=0僅有2個實根.

③當a=-3,b>2時,

f(x)=x3-3x+b,

則

f′(x)=3x2-3,

從而

f(x)max=f(-1)=2+b>0,

f(x)min=b-2>0,

函數x的圖像與x軸只有1個交點，故x3+ax+b=0僅有1個實根.

④當a=0,b=2時,

f(x)=x3+2,

則

f′(x)=3x2≥0,

即f(x)在R上單調遞增,函數的圖像與x軸只有1個交點，故x3+x+b=0僅有1個實根.

⑤當a=1,b=2時,

f(x)=x+x+2,

則

f′(x)=3x2+1>0,

即f(x)在R上單調遞增,函數的圖像與x軸只有1個交點，故x3+ax+b=0僅有1個實根.

綜上所述,①③④⑤正確.

例5設函數

若f(x)恰有2個零點，則實數a的取值范圍是______．

(2015年北京市數學高考理科試題)

分析這是一個分段函數，其中一段是指數型，另一段是二次函數型，因此要先考慮每一段的值域與零點的關系，再考慮總零點數.

2)若函數g(x)=2x-a當x<1時與x軸無交點，則h(x)=4(x-a)(x-2a)與x軸有2個交點.

當a≤0時，g(x)與x軸無交點，h(x)=4(x-a)(x-2a)當x≥1時與x軸無交點，不合題意；

當h(1)=2-a≥0時，a≥2,h(x)與x軸有2個交點，x=a和x=2a,由于a≥2，2個交點橫坐標均滿足x≥1.

說明解決此類問題最好畫出函數圖像，會顯得相對直觀.

4與函數圖像的切線有關的類型

這類問題多是確定直線的斜率，這就必然要與曲線的切線發生內在聯系,與導數掛上鉤.

例6已知函數

若g(x)=f(x)-kx有3個零點，則k的取值范圍是______.

(2015年安徽省數學高考模擬試題)

圖6

分析由題知即求f(x)=kx的解，可畫出f(x)和kx的圖像，利用導數求x=0,x<0,x>0這3種情況下,f(x)各有1個零點時,k的取值范圍，再求交集即可.

解由題意畫出圖像如圖6所示.

1)當x=0時，f(0)=ln1=0,k×0=0,知0是g(x)的一個零點.

g(x)=ln(x+1)-kx,

則

當k≥1時，則g′(x)<0，即g(x)在(0，+∞)上單調遞減,從而g(x)

表1　函數單調性

下面給予證明：令

(2015年安徽省數學高考模擬試題)

圖7

分析函數g(x)=f(x)-kx+k零點的個數，即函數f(x)與h(x)=k(x-1)圖像交點個數，畫出函數圖像，采用數形結合可得答案.

解令h(x)=k(x-1)，則可作出f(x)和h(x)函數圖像(如圖7所示),因為h(x)=k(x-1)經過(1,0)點，且斜率為k,所以

2)當x>1時，

若函數g(x)=f(x)-kx+k有2個零點，則函數f(x)與h(x)=k(x-1)的圖像有2個交點.

綜上所述,1

說明解決此類問題若畫出函數圖像，則更易確定參數的范圍,同時不會犯一些原則性錯誤.

以上就近幾年高考中和模考中比較熱點的函數零點與參數關系類問題，進行了分類解析，不足之處望多斧正.

中圖分類號：O122

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)05-42-04

作者簡介：章禮抗(1966-)，男，安徽樅陽人，安徽省特級教師，研究方向：數學教育.

修訂日期：*收文日期：2015-11-24；2015-12-24.