用幾何畫板探究線段的勾股分割點(diǎn)*

●陳咸存　張紅波　　(寧波教育學(xué)院　浙江寧波　315010)

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用幾何畫板探究線段的勾股分割點(diǎn)*

●陳咸存張紅波(寧波教育學(xué)院浙江寧波315010)

摘要：給定一條線段，線段的勾股分割點(diǎn)是存在的，借助幾何畫板及演繹推理給出了線段的所有勾股分割點(diǎn)，最后用幾何畫板構(gòu)造并驗(yàn)證了線段的勾股分割點(diǎn).

關(guān)鍵詞：幾何畫板；勾股分割點(diǎn)；直角三角形；探究

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡將現(xiàn)代化教學(xué)手段和信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合，現(xiàn)代信息技術(shù)要“致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂(lè)意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去”[1].筆者試圖用數(shù)學(xué)軟件幾何畫板作為探索數(shù)學(xué)的工具，探究線段的勾股分割點(diǎn).

2015年浙江省臺(tái)州市數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題涉及線段的勾股分割點(diǎn)，從試題可見(jiàn)線段的勾股分割點(diǎn)是存在的，那么線段的勾股分割點(diǎn)有多少？其中多少可構(gòu)成等腰直角三角形？為此引入：

定義[2]如圖1，點(diǎn)M,N把線段AB分割成AM,MN和NB，若以AM,MN,NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn).

圖1 圖2

如圖2，以點(diǎn)

A

(0)為原點(diǎn)建立一維笛卡爾坐標(biāo)系，且點(diǎn)

B

(

b

)在此坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為

b

(其中

b

>0).設(shè)點(diǎn)

M

的坐標(biāo)為

xb

，則有0<

x

<1.不妨設(shè)點(diǎn)

N

總在點(diǎn)

M

與點(diǎn)

B

之間，且點(diǎn)

N

的坐標(biāo)為

yb

，則

x

且

點(diǎn)M,N為線段的勾股分割點(diǎn)，簡(jiǎn)記為(x,y).

1存在性

1.1AM為弦

此時(shí)AM2=MN2+NB2，即

x2=(y-x)2+(1-y)2，

整理得

由Δ=(x+1)2-2≥0解得

利用幾何畫板[3]畫出以下3個(gè)函數(shù)的圖像(如圖3所示):

由圖3可知以AM為弦、MN為勾和NB為股構(gòu)成一個(gè)直角三角形.

圖3 圖4

1.2MN為弦

此時(shí)MN2=AM2+NB2，即

(y-x)2=x2+(1-y)2，

解得

則

利用幾何畫板畫出以下3個(gè)函數(shù)的圖像(如圖4所示)：

2x2-4x+1=0，

1.3NB為弦

此時(shí)NB2=AM2+MN2，即

(1-y)2=x2+(y-x)2，

解得

則

與“MN為弦”的情況類似討論，以AM,MN,NB為邊可構(gòu)成直角三角形.

圖5 圖6

中圖分類號(hào)：O123.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6407(2016)05-30-03

作者簡(jiǎn)介:陳咸存(1964-)，男，浙江寧波人，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

基金項(xiàng)目：浙江省2015年教育技術(shù)研究課題“信息技術(shù)下的中學(xué)數(shù)學(xué)探究的實(shí)踐研究”(JB142).

修訂日期：*收文日期：2016-02-25；2016-03-28.