用“元素平移法”巧解立體幾何問題*

●盛耀建　　(湖州中學(xué)　浙江湖州　313000)

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用“元素平移法”巧解立體幾何問題*

●盛耀建(湖州中學(xué)浙江湖州313000)

摘要：文章從培養(yǎng)學(xué)生的立體感、讓學(xué)生喜歡用傳統(tǒng)方法解立體幾何問題的目標(biāo)出發(fā)，歸納并引進(jìn)一種解題“技巧”——元素平移法，以增強(qiáng)立體圖形的清晰度，降低解題過程中的計(jì)算量.

關(guān)鍵詞：點(diǎn)平移法;線平移法;面平移法

在當(dāng)前高中階段的立體幾何教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中，空間向量法的廣泛運(yùn)用使得學(xué)生的立體感普遍減弱，為了消除這一現(xiàn)狀，實(shí)現(xiàn)立體幾何的教學(xué)價(jià)值，就必須讓學(xué)生喜歡用傳統(tǒng)方法解立體幾何問題.筆者認(rèn)為其中的一條途徑就是在傳統(tǒng)法的教學(xué)過程中適當(dāng)滲透一些“解題技巧”，以減少傳統(tǒng)法中的計(jì)算繁、作圖難等問題.本文從點(diǎn)、線、面等3個(gè)角度提出一種解立體幾何問題的“技巧”——“元素平移法”，以起拋磚引玉的作用，供讀者品鑒.

技巧1點(diǎn)平移法

點(diǎn)平移法指的是利用立體幾何中線面平行或面面平行等性質(zhì)將一已知點(diǎn)平移至另一點(diǎn)，而其中某一性質(zhì)(如“距離”)等不變，常見于求“點(diǎn)到線或面的距離”的問題中.

例1如圖1，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是2個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn).

1)求證：OE∥平面PCD；

2)求直線CE與平面PDC所成角的正弦值.

圖1 圖2

1)略.

2)解聯(lián)結(jié)AO并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作AO的垂線，垂足為M，過點(diǎn)M作DC的垂線，垂足為N，聯(lián)結(jié)EN，EC(如圖2).易得

從而

由第1)小題知點(diǎn)E到平面PCD的距離與點(diǎn)O到平面PCD的距離相等，記為d.

參考文獻(xiàn)

[1]唐恒鈞.基于問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)——兼評(píng)陳柏良的《數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)》[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2013(4):64-64.

[2]唐恒鈞,周柳青.思維導(dǎo)向的數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2014(3):10-11.

[3]曾盛.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一種模式[J].中國(guó)教育教研，2013(4)：5-6.

從而

PC2+PD2=16=CD2,

即

∠CPD=90°.

在三棱錐P-OCD中，利用等體積變形公式VP-OCD=VO-PCD,得

從而

記直線CE與平面PCD所成角為θ，則

點(diǎn)評(píng)本題第2)小題解答過程中，利用線面平行將點(diǎn)E平移至點(diǎn)O，巧妙地將點(diǎn)E到平面PCD的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)O到平面PCD的距離，結(jié)合等體積變形公式極大地減小了問題核心求d的計(jì)算量.

技巧2線平移法

線平移法是指在立體幾何中利用線線平行的性質(zhì)，對(duì)線進(jìn)行平移，以達(dá)到計(jì)算簡(jiǎn)化或作圖清晰的目的，常見于求“異面直線所成角”或“線面角”的問題中.

圖3

()

圖4 圖5

技巧3面平移法

面平移法是指在立體幾何中利用面面平行的性質(zhì)對(duì)面進(jìn)行平移，以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算或方便作圖(找二面角的平面角，如垂面、垂線、垂足的確定)的目的，常見于求“二面角大小”的問題中.

例3如圖6，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C.

1)證明：AC=AB1；

2)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值.

圖6 圖7

1)略.

2)解由題意平面A1B1C1∥平面ABC，故二面角A-A1B1-C1的平面角α與二面角B1-AB-C的平面角互補(bǔ).過點(diǎn)B1作AB的垂線B1H，垂足為H(如圖7)，聯(lián)結(jié)CH，由3條邊分別相等易證

△ABB1≌△ABC，

從而

CH⊥AB，

故∠B1HC為二面角B1-AB-C的平面角.設(shè)AB=1，則由題意得：在△ABB1中，AB=BB1=1，于是

得

從而

即

同理可得

于是

故

點(diǎn)評(píng)本題第2)小題用傳統(tǒng)法不易作出二面角A-A1B1-C1的平面角,但經(jīng)過平面的平移將二面角A-A1B1-C1轉(zhuǎn)化為二面角B1-AB-C的補(bǔ)角，而從上述過程可知二面角B1-AB-C的平面角的余弦值是容易求得的，從而快速得出所要求解的答案.

1)求證：平面PQB⊥平面PAD；

2)若二面角M-BQ-C為30°，設(shè)PM=tMC，試確定t的值.

圖8 圖9

1)略.

2)解過點(diǎn)M作ME∥PB交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BQ交AD于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)MF(如圖9)，則

?平面MEF∥平面PQB.

(1)

聯(lián)結(jié)BD，由題意知

(2)

由關(guān)系式(1)和(2)得,平面MEF⊥平面ABCD.

?MH∥PQ.

又由PM=tMC,得

由ME∥PB,得

BE=tEC,

即

過點(diǎn)H作HT⊥BQ，垂足為T，聯(lián)結(jié)MT，則∠MTH就是二面角的平面角M-BQ-C，故∠MTH=30°，因此

得

t=3.

點(diǎn)評(píng)本題第2)小題在使用傳統(tǒng)法解答時(shí)，難點(diǎn)在于確定二面角M-BQ-C的平面角的具體位置，若直接過點(diǎn)M作底面ABCD的垂線MH，則垂足H的具體位置不確定，以至于HT的長(zhǎng)度不易計(jì)算，同時(shí)MT的長(zhǎng)度也很難確定.區(qū)別于例3，本解法借助面面平行，將平面PQB移至平面MEF的主要目的在于利用面面垂直的性質(zhì)，將垂足H確定下來，從而找出二面角M-BQ-C的平面角∠MTH，并結(jié)合TH的長(zhǎng)算出t的值.

方法感悟

1)從新課標(biāo)的理念及教學(xué)的價(jià)值看，傳統(tǒng)法的教學(xué)很有意義，而立體幾何中不易建立直角坐標(biāo)系的問題，傳統(tǒng)法就更具有了現(xiàn)實(shí)功能，變得非常有必要，教師在教學(xué)過程中必須突出傳統(tǒng)法而不應(yīng)蜻蜓點(diǎn)水式地一筆帶過；

2)技巧的引進(jìn)往往是一時(shí)靈感的悅動(dòng)與閃現(xiàn)，其規(guī)模化的應(yīng)用還需教師在教學(xué)過程中作出適當(dāng)?shù)厥崂砼c總結(jié)，當(dāng)然真正從根本上讓學(xué)生喜歡某種技巧還應(yīng)該是技巧本身所帶來的方便與簡(jiǎn)潔.

中圖分類號(hào)：O123.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6407(2016)05-09-03

作者簡(jiǎn)介：盛耀建(1982-)，男，浙江湖州人，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

修訂日期：*收文日期：2015-12-07；2016-01-08.