基于問題鏈的“函數單調性”教學探索*

●吳丹紅　　(四明中學　浙江寧波　315040)

●唐恒鈞　　(浙江師范大學教師教育學院　浙江金華　321004)

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基于問題鏈的“函數單調性”教學探索*

●吳丹紅(四明中學浙江寧波315040)

●唐恒鈞(浙江師范大學教師教育學院浙江金華321004)

摘要：“問題”被喻為數學的心臟，是思維的源泉和動力.設計符合學生心理的問題鏈更是一門藝術，它能引領學生進行有效地思考和探究.文章以函數圖像的定性描述為起點問題，構建3個符合學生認知的主干問題和若干子問題，層層推進，并不斷精細化，最后水到渠成得到函數單調性概念的定量刻畫及拓展應用的一個案例，以此來說明基于數學問題鏈的一些教學探索.

關鍵詞：問題鏈；單調函數；單調區間

為了在數學教學中為學生提供高水平的數學內容，同時也為學生的獨立思考提供載體，四明中學在與浙江師范大學的合作中開展了“基于數學問題鏈的教學改革”的系列探索.本文正是其中的一個實踐案例.

1數學問題鏈及其構建方法

“問題鏈”是指在課堂上呈現給學生的有序的主干問題串.它既為學生提供了數學學習的骨架，使學生能經這一問題鏈獲得高水平的數學知識，同時問題鏈中的每一個問題及問題間的跨度又為學生高水平的思維提供了可能性.基于問題鏈的教學也在一定程度上使教師的工作重心由課內轉向了課外.如何構建適合學生數學學習的問題鏈成為首要工作，這要求教師在課堂上更多地讓學生去獨立或合作地探索問題鏈中的相關問題.

在構建問題鏈的過程中，一般要經歷3個階段，即:首先,通過構建數學主題結構關系圖，尋找教學聯結點；其次,根據數學主題設計主干問題；再次,根據學生實際，構建主干問題鏈[1].當然，由于在第1階段綜合考慮了數學主題之間的關聯及其在學校課程中的順序關系，因此后2個階段往往又是交叉重疊的.

2函數單調性的教學聯結點與問題鏈

2.1函數單調性的教學聯結點

函數單調性的學習是基于初中已有知識的基礎之上的，圖1顯示了初中和高中關于函數單調性的學習內容.在初中階段學生已經學習了一次函數、反比例函數和二次函數，以及利用圖像說明變化趨勢，用y隨x的增大而增大(或減小)定性地描述函數單調性.而到高中階段，則要求學生更細致地利用自變量及其函數值的變化關系定量地刻畫單調性，并根據這一關鍵屬性形成單調函數及其單調區間的定義.而應用單調函數的定義則可以證明某個函數的單調性，以及判斷、求解函數的最值問題.

圖1　初中與高中函數單調性學習的結構圖

基于上述分析，在高中函數單調性教學時應以圖像刻畫、定性描述為基礎，特別要以“用y隨x的增大而增大(或減小)”的定性描述方式為教學關聯點，并由此深化為用“對于定義域中某個區間D上任意x1和x2，均有f(x1)f(x2))”的定量刻畫.

2.2“函數單調性”教學的問題鏈

該問題是教學的起點性問題，旨在激活學生的已有經驗，并為高中函數的解析刻畫方式的關聯奠定基礎.

問題2如何通過高中所學的自變量x及其函數值f(x)的關系來更細致地、定量化地刻畫上述變化趨勢？

問題2-1以y=x2為例，你能比較、歸納f(x)隨x的變化特點嗎？

1)可以借助表1加以分析.

表1　函數值對應表

2)除了表中取到的自變量，取其他自變量時函數值又有什么樣的特點？

問題2-2對于其他函數，你能得到什么樣的結論？

問題2-3你能用上述方法去刻畫其他更一般的函數嗎？

這里通過3個子問題將學生對單調性的刻畫方法由定性轉向定量，并由具體問題推廣至一般問題，形成單調函數、單調區間的定義，并通過一些問題引導學生加深對單調函數、單調區間定義的理解.

問題3函數的單調性中涉及到自變量、對應法則(及由此確定的函數值)及單調性等要素.如果只給出其中一些要素作為條件，你能獲得其他要素的結論嗎？

問題3-1已知某個函數在定義域上是單調遞增的，自變量的2個取值x1

問題3-2已知某個函數，自變量的2個取值x1f(x2)，這個函數是減函數嗎？為什么？要如何添加條件才能使上述結論成立？

問題3-3已知函數y=x3，如何判斷該函數的單調性及其單調區間？

問題3-4你能概括出判斷函數單調性的一般方法嗎？請自己找一個函數驗證你提出的判斷方法的有效性.

問題3旨在幫助學生建立起數學相關概念及其所涉及的要素間的關系，以形成概念網絡.同時問題3也希望為學生理解如何命題提供機會，這對于提高學生的解題能力是有價值的.問題3-1是單調函數及單調區間的簡單應用，同時為后續問題的解決提供思路.問題3-2則是對單調函數概念理解的精致化處理，即解決學生在單調函數的學習中容易忽視的2個問題：一是定義中2個自變量取值的任意性;二是單調函數是描述函數局部特征的.問題3-3利用單調函數的定義和函數的解析式判斷單調性，并為函數單調性判斷與證明的一般方法的發現(問題3-4)提供線索.

該課在問題3之后又安排了一些練習來進一步鞏固學生對于單調性的理解，以及函數單調性的判斷與表示.

3若干反思

函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第1個性質，是函數學習中第1個用數學符號語言刻畫的概念，因此對于單調性學生的認知困難主要在以下2個方面：

1)要求用準確的數學符號語言去刻畫圖像的上升與下降，這種由形到數的翻譯、從直觀到抽象的轉變對于高一學生來說是比較困難的.

2)單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的[2].由此，本節課從學生已經熟悉的函數圖像入手，從靜態的函數圖像中引導學生觀察動態的函數變化趨勢.從圖形語言—自然語言—數學符號語言得出單調性的定義，其中用數學符號語言來刻畫圖形語言和自然語言是一個難點，它的本質在于自變量不可能被窮舉，因此精心設計了問題2-1中的第2)小題引導學生進一步思考，初步體會需要討論任意的2個自變量之間的關系，從而實現從有限到無限的轉變，完成單調性從“形”到“數”的轉化.

這是一堂數學概念教學課，它的目的是幫助學生獲得數學概念，理解數學概念，運用數學概念，并在這個過程中學習數學方法，領悟數學思想，感受數學文化[3].本堂課以問題鏈為載體，體現了學生的主體性，課堂上也調動了學生思維的積極性，促進了學生思維活動的參與，較好地實現了概念教學的目的.

中圖分類號：O122

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)05-07-03

作者簡介：吳丹紅(1978-)，女，浙江寧波人，中學一級教師，研究方向：數學教育.

基金項目：教育部人文社會科學基金項目“文化視野下中澳數學課程的比較研究”(14YJC880066).

修訂日期：*收文日期：2016-02-23；2016-03-28.