到兩點的距離和最短問題的應用

廖華彬

[摘 要]到兩點距離和最短問題，在生產生活和學習中都有著廣泛的應用。解決到兩點距離和最短問題，在培養學生的“四基”、創新思維和應用數學解決實際問題方面有著不可替代的作用。

[關鍵詞]矩離和最短；軸對稱；最小值；應用

例1：如圖1-1所示，直線l的同側有A、B兩點，在直線l上求作一點P，使AP+BP值最小。

[簡析]這個問題，我們把它簡稱為“到兩點的矩離和最短問題”。要求AP+BP最小值，很容易聯想到“兩點之間，線段最短”。如何使AP和BP在一條線上呢？可以嘗試通過軸對稱變換達到目的。

[略解]如圖1-2，作點A關于直線l的對稱點C，連接CB交直線l于P；則點P就是所要求作的點。這種方法，我們稱它為“軸對稱法”。

[略證]如圖1-2，在直線l上另任取一點D，連接AD、CD、BD，根據“三角形兩邊之和大于第三邊”易知，AP+BP值最小。

[概括]這道題可概括為一個數學模型：到一直線同側兩點矩離和最短的點，就是其中一點關于這條直線的對稱點與另一點的連線和這條直線的交點。此模型是圖形與幾何中的到兩點的矩離和最短問題，解這類問題的思想和方法在生產生活和學習中都有著廣泛的應用。解決到兩點距離和最短問題，在培養學生的“四基”、創新思維和解決實際問題方面有著不可替代的作用。

一、基礎應用

例2：（2005南充中考題）點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上一個動點，M、N分別是AB、BC邊上的中點，MP+MP的最小值是（ ）

[簡析]根據題意畫出圖2-1來，由圖2-1很容易想到這實際上是在AC上求點P使到點M、N的矩離和最短；從而用軸對稱法，由圖2-2易求得MP+MP的最小值是1，所以選B。

例3：（2007湖北荊門中考題）如圖1-1，要在河邊 修建一個水泵站，分別向A、B兩村送水，水泵站應修建在河邊的什么地方，可使所用的水管最短？

[簡析]這是生活中的一個實際問題，我們可以把它提煉概括為一個數學問題：實際上就是在直線 上求作一點，使它到點A、B兩點的矩離和最小。因此我們可用“軸對稱法”求解，如圖1-2。

[小結]這些基礎應用，不僅有利于學生掌握必需的數學基礎知識與基本技能，更有利于學生數學思考、問題解決、情感態度等方面都得到發展。

二、拓展應用

例4：如圖4，兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個油庫，設為點P，如在兩條公路上各設置一個加油站，請你設計一個方案，把兩個加油站設在何處，可使運油車從油庫出發，經過一個加油站，再到另一個加油站，最后回到油庫所走的路程最短.

[簡析]這是一個實際問題，需要把它轉化為數學問題。經過分析，我們明白此題是要求作兩點，使其與點P所圍成的三角形的周長最小。于是我們很容易聯想到“軸對稱法”。

[略解]如圖4，分別作點P關于直線OA和OB的對稱點P1、P2 ，連結P1P2分別交OA、OB于C、D，C、D兩點就是使運油車所走路程最短，而建加油站的地點。那么是不是最短的呢？我們可以用三角形兩邊之和大于第三邊進行說明。

例5：（2011內江市中考模擬卷三）在直角坐標系中有四個點A（-8，3），B（-4，5），C（0，n），D（m，0），當四邊形ABCD的周長最短時，m/n的值是

[簡析]這實際上是要在坐標軸上求作兩點，使它們與A、B兩點所圍成的四邊形的周長最小。從而我們可以想到用“軸對稱法”來解。

[略解]如圖3，分別作點A、B關于橫軸、縱軸的對稱點M、N，連接MN分別與坐標軸交于點C、D。顯然點M（-8，-3）、N（4，5），易求得直線MN關系式：y=2/3x+7/3，從而點C（0，7/3）、D（-7/2，0），因此m/n=-3/2。

[小結]這兩道題都是一個兩次應用軸對稱變換的復合問題。到兩點的矩離和最短問題的拓展應用，不僅促使學生對知識和技能的理解更加深刻，而且也鼓勵了學生思維的創新。

三、綜合應用

[解析]這是一個軸對稱和平移的復合問題，也是一個關于到兩點矩離和最短問題。我們觀察發現，線段PN=2其值是確定的，可以將其平移；然后再通過軸對稱變換，可求四邊形PABN周長的最小值。

[略解]用軸對稱法解：如圖6-1，過B作BF∥x軸且BF=2，作點A關于x軸的對稱點E，連接EF交x軸于P，在x軸截取PN=2。連接BN、AP，顯然四邊形PFBN是平行四邊形。顯然點E（1，3），F（2，-1），易求得直線EF關系式：y=-4x+7，從而點P（7/4，0），因此a=7/4。

也可用數形結合的方法解：由兩點間的矩離公式可得四邊形PABN的周長為 ，當 值最小時，四邊形PABN的周長最小。如圖6-2，作BD=1，過B作AB⊥BD，過E作DE⊥BD，使AB=3，DE=1，連接AE交BD于C，則BC=2-a，CD=a-1，線段AE= 的長即為代數式 的最小值。易知△ABC∽△EDC，從而有 ，解得a=7/4。

[小結]通過對到兩點矩離和最短綜合應用問題的解答，使學生了解所學過的數與代數、圖形與幾何知識之間的關系，加深對有關知識的理解；進一步體驗發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，積累數學活動經驗，發展綜合應用意識和能力。

通過對到兩點距離和最短問題的應用，有利于學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程；有利于學生掌握必需的數學基礎知識、形成必需的數學基本技能、領悟基本的數學思想、積累基本的數學活動經驗；有利于培養學生應用數學的意識和創新意識；有利于學生在情感、態度與價值觀等方面全面、協調地發展。