基于轉子偏心坐標系的無軸承永磁薄片電機徑向懸浮力模型

孫宇新，　錢建林，　朱熀秋，　張維煜

(江蘇大學 電氣信息工程學院，江蘇 鎮江 212013)

?

基于轉子偏心坐標系的無軸承永磁薄片電機徑向懸浮力模型

孫宇新，錢建林，朱熀秋，張維煜

(江蘇大學 電氣信息工程學院，江蘇 鎮江 212013)

摘要:針對無軸承永磁薄片電機(BPMSM)運行時轉子懸浮不夠穩定的問題，研究了影響BPMSM轉子懸浮性能的主要因素，即轉子徑向懸浮力模型。依據位移補償控制理論和角坐標系的概念，建立了新的轉子偏心坐標系。在轉子偏心坐標系下，基于麥克斯韋應力張量法，利用積分和三角變換推導了轉子徑向懸浮力模型，并設計懸浮力繞組電流直接控制系統。建立電機的有限元模型，通過對比徑向懸浮力的有限元分析結果與數學模型計算結果，驗證了所推導數學模型的正確性與準確性。

關鍵詞:無軸承永磁薄片電機；轉子偏心坐標系；麥克斯韋力；徑向懸浮力；有限元分析

0引言

過去幾十年中，無軸承驅動與無軸承電機技術被廣泛研究[1-2]。無軸承電機具有顯著優點，使用壽命長，無需潤滑，能滿足潔凈性、耐化學性、緊湊性等方面的高要求。

無軸承薄片電機采用薄片轉子，在提高經濟效益的同時降低了系統復雜度。普通無軸承電機運行時，需要保持轉子五自由度穩定懸浮。而無軸承永磁薄片電機利用“磁阻最小原理”能夠實現軸向與兩個扭轉方向上的被動懸浮。

無軸承永磁薄片電機的穩定懸浮是其技術發展的關鍵問題。為滿足控制的精確性、穩定性、快速性，需要建立精確、簡潔的懸浮力模型，利用數字控制系統進行控制。

文獻[3]對單繞組無軸承永磁薄片電機采用電機等效磁路法建立了其徑向懸浮力數學模型，但由于其轉矩磁場和懸浮磁場由同一套定子繞組產生，兩者耦合影響嚴重。文獻[4]對3對極無軸承交替極薄片電機應用分段求解法建立了其徑向懸浮力數學模型，但該模型中存在影響懸浮力脈動的電機參數氣隙寬度lg和永磁體厚度lm，不利于電機的精確和穩定控制。文獻[5]基于麥克斯韋應力張量法建立數學模型，提高了模型的精確性，但模型復雜不便于進行實時控制。

本文針對轉子轉動過程中發生的偏心位移，建立了轉子偏心坐標系，在該坐標系下利用麥克斯韋應力張量法推導了無軸承永磁薄片電機徑向懸浮力模型，并設計相應控制系統。運用有限元法對無軸承永磁薄片電機樣機進行懸浮力分析，分析結果與數學模型理論計算結果進行比較分析，驗證所建立數學模型的正確性和精確性。

1BPMSM懸浮原理

由磁阻力特性可知，薄片轉子的軸向平移與翻轉運動均屬于被動懸浮控制,當薄片轉子發生翻轉或平移時,磁阻力就會產生方向相反的磁拉力使薄片轉子回復到平衡位置。控制原理如圖1所示 。

在圖2(a)中，ψM，ψB分別是由轉矩繞組和懸浮繞組各自產生的磁鏈，兩者疊加后α軸正方向處磁場增強，最終合成的磁場吸力沿α軸正方向。同理可分析圖2(b)。

圖1　BPMSM被動懸浮控制原理Fig.1　Passive suspension force generation of BPMSM

圖2　BPMSM主動磁懸浮力產生原理Fig.2　Active suspension force generation of BPMSM

2BPMSM懸浮力模型

在建立數學模型之前，先做如下假設：(1)忽略定、轉子鐵心磁阻，不計渦流和磁滯損耗；(2)永磁材料的電導率為零，永磁體內部的磁導率與空氣相同；(3)轉子上沒有阻尼繞組；(4)永磁體產生的勵磁磁場和三相繞組產生的電樞反應磁場在氣隙中均為正弦分布；(5)穩態運行時，相繞組中感應電動勢波形為正弦波。

2.1轉子偏心坐標系

如圖3所示：“α-β”坐標系為機械空間內的靜止兩相正交坐標系；“d-q”為旋轉正交坐標系。

圖3　轉子偏心坐標系的建立Fig.3　Coordinate system of rotor eccentricity

下面設定“i-j”坐標系為轉子偏心坐標系：其原點為定子中心，與靜止兩相正交坐標系原點重合，i軸指向轉子的偏心位移方向，j軸與i軸正交。當轉子發生偏心位移時，i軸分量對應轉子偏心距，而j軸分量始終為零。

2.2懸浮力模型的建立

考慮轉子偏心時的情況，任意方向上的氣隙長度可以表示為

δ(φ)=δ0-ρcosφ。

(1)

式中：δ0為轉子不偏心時的等效氣隙長度；ρ為轉子偏心距；φ為氣隙中任意處與i軸的夾角。

考慮轉子偏心時的氣隙磁導率為

(2)

根據電機原理，氣隙磁場由轉矩繞組，永磁轉子和懸浮力繞組共同建立。三者產生的磁動勢基波分量分別為

(3)

式中：F1m、F2m、Ffm分別為轉矩繞組、懸浮繞組和永磁體的氣隙磁動勢基波幅值；μ1、λ、μf為各氣隙磁動勢基波對應的空間初始相位角；ω1、ω2為轉矩繞組與懸浮力繞組角頻率；p1、p2分別為轉矩繞組和懸浮力繞組極對數；θi為轉子偏心坐標系i軸超前兩相靜止坐標系α軸的角度,即轉子偏心角度。

由于轉矩繞組和永磁體產生磁場都是p1對極，兩者共同建立的合成氣隙磁動勢基波為

f1f(φ,t)=f1(φ,t)+ff(φ,t)=

F1mcos[ω1t-p1(φ+θi)-μ1]+

Ffmcos[ω1t-p1(φ+θi)-μf]=

F1fmcos[ω1t-p1(φ+θi)-μ]。

(4)

從而，BPMSM的氣隙磁場由轉矩繞組、永磁體合成的p1對極的磁場和由懸浮力繞組產生的p2對極的磁場共同作用產生。

根據電機學原理，繞組產生的氣隙磁通密度幅值為

(5)

式中：N1、N2分別為轉矩繞組和懸浮繞組每相串聯匝數；I1f、I2分別轉矩繞組、永磁體合成等效勵磁電流和懸浮繞組電流幅值；kd1、kd2分別為轉矩繞組和懸浮繞組基波繞組分布系數；p1、p2分別為轉矩繞組和懸浮繞組極對數。

因此，在任意時刻任意機械角度上的氣息磁通密度可表示為

B(φ,t)=B1f(φ,t)+B2(φ,t)=

Λ(φ)f1f(φ,t)+Λ(φ)f2(φ,t)=

cos[ω2t-p2(φ+θi)-λ]。

(6)

根據麥克斯韋張量法，轉子表面ds面積上沿機械角度φ受到的法向力可表示為

(7)

將該力分解為沿i、j正交軸上的分量為

(8)

式中：μ0為空氣磁導率；B(θ,t)為合成氣隙磁通密度，l為電機有效鐵心長度，r為轉子半徑。

將上式對變量φ在0～2π上進行積分可得

(10)

式中：

C(φ)=B1fmcos[ω1t-p1(φ+θi)-μ]+

B2mcos[ω2t-p2(φ+θi)-λ]。

(11)

分析式(9)、式(10)，懸浮力可分為三部分：

(2)第二部分是關于偏心距ρ的線性函數，其大小隨偏心距的增大而增大，屬于不可控力，計為F″i、F″j。

(3)第三部分是關于偏心距ρ的二次函數，當ρ很小時，這一項忽略不計。

所以懸浮力模型可簡化為

(12)

2.3BPMSM實現穩定懸浮的必要條件

(13)

利用三角函數性質與三角變換公式，式(13)化簡為

(14)

式中：

(15)

所以，當轉子發生偏心位移時，產生可控徑向懸浮力必須滿足必要條件：

(16)

分析式(9)、式(10)中的第二部分由偏心位移引起的徑向力F″i、F″j，BPMSM實際運行過程中，由于ρ、B2m的數值都較小，因此忽略其平方項和它們之間的乘積項，得：

(17)

式中：

ε(φ)=2ωt-(2p1-2)φ-2p1θi-2μ，

(18)

當p1=1時，F″i、F″j是隨時間按正弦規律變化的脈動力，不便于控制時進行實時補償，設計時應盡量避免。

2.4徑向懸浮力最終模型

將式(16)代入式(14) ，得

(19)

當p1≠1時，根據式(17)，得到由偏心距產生的不可控力計算公式為

(20)

將式(6)代入式(19)，得可控徑向力與電流間的關系

(21)

將式(6)代入式(20)，得不可控徑向力與電流間關系

(22)

3控制系統設計

在i軸方向，轉子偏心產生偏心磁拉力，可控懸浮力用于補償偏心力。當電機轉子發生徑向偏移時，利用位移傳感器測得轉子沿x、y方向偏心位移。

則偏心距：

(23)

偏心方向：

(24)

將懸浮力指令值代入可控懸浮力公式(21)，計算得到懸浮繞組電流初相角與幅值指令值

(25)

三相電流矢量可通過控制幅值、初相角和頻率來確定。通過式(25)確定懸浮繞組電流的初相和幅值，電流的頻率與轉矩繞組電流頻率相同，三相靜止坐標下的徑向懸浮力繞組電流可以表示為

(26)

圖4　懸浮繞組電流直接控制系統框圖Fig.4　System configuration of direct suspension 　　　winding current control

4有限元分析

有限元法是分析電機運行原理與性能的有效方法，本文借助Ansoft Maxwell 15對轉矩繞組極對數P1=1、懸浮力繞組極對數P2=2的無軸承永磁薄片電機氣隙磁通密度分布和徑向懸浮力進行分析，并與數學模型計算結果進行對比分析，從而驗證所建立的徑向懸浮力數學模型的正確性。無軸承永磁薄片電機樣機參數見表1，建立該電機的有限元仿真模型并進行網格剖分，如圖5所示。

表1　無軸承永磁薄片電機樣機參數

圖5　無軸承永磁薄片電機有限元模型Fig.5　FEM model of a BPMSM

為了分析電機氣隙中磁通密度諧波成分含量，運用Ansoft有限元軟件分別分析薄片轉子永磁體單獨作用時，轉矩繞組中通入I1=3 A電流時和懸浮力繞組中通入I2=3 A電流時的氣隙磁通密度分布。再利用Matlab軟件對磁通密度數據進行傅里葉變換分析，得到磁通密度諧波成分含量如圖6。

轉子永磁體單獨作用時，氣隙磁通密度基波分量占96.7%；轉矩繞組單獨作用時，氣隙磁通密度基波分量占74.0%；懸浮力繞組單獨作用時，氣隙磁通密度二次諧波分量占58.0%。三者都是各自氣隙磁密的主要組成部分，能反映氣隙磁密的總體特征。因此，模型計算時主要考慮磁動勢基波分量，忽略高次諧波分量。

圖6　無軸承永磁薄片電機氣隙磁通密度分布Fig.6　Air-gap flux density distribution of BPMSP

3.1可控懸浮力分析

式(21)懸浮力模型與有限元計算結果進行比較，如圖7、圖8所示。懸浮繞組電流較大時，電機進入飽和狀態，模型計算結果與有限元仿真結果略有偏差，在懸浮繞組電流小于3A時，懸浮力模型與有限元計算的結果基本一致。

3.2不可控懸浮力分析

設定通入懸浮力繞組的電流幅值I2=0，轉矩繞組、永磁體等效繞組合成電流的幅值I1f=3 A、初始相位μ=0。將模型計算值與有限元分析結果比較，如圖9。

根據式(22)，偏心磁拉力F″i與偏心距ρ成正比，而F″j保持為零。從圖可以看出，有限元數學模型的理論計算結果與有限元法分析的結果基本吻合，誤差較小。由此可以得出數學模型中不可控徑向懸浮力部分的正確性。

圖7　可控徑向懸浮力隨懸浮力繞組電流I2、　　　初相角λ變化的曲線Fig.7　Relationships between the controllable suspension　　　 force and amplitude of I2、phase λ

圖8　可控徑向懸浮力隨懸浮力繞組電流I2、　　　初相角λ變化的曲線Fig.8　Relationships between the controllable suspension 　　　force and amplitude of I2、phase λ1

圖9　不可控徑向懸浮力隨偏心距ρ變化的曲線Fig.9　Relationships between the uncontrollable suspension　　　 force and the eccentric displacement ρ

5結論

1)針對轉子運動時發生的偏心位移，提出了轉子偏心坐標系的概念。在該坐標系下，建立基于麥克斯韋應力張量法的數學模型，一方面克服了等效磁路法在電機結構復雜時對經驗值和修正參數要求高的缺點，另一方面克服了分段求解法中電機本體參數對模型準確性的影響。模型在滿足精確性的情況下，簡化了不可控懸浮力的表達方式，為設計更高效簡潔的控制器提供了依據。

2)通過有限元分析，分別對比驗證了數學模型中可控懸浮力與不可控懸浮力計算結果的正確性，計算結果與有限元分析結果基本一致，驗證了在轉子偏心坐標系下，基于麥克斯韋應力張量法建立的BPMSM徑向懸浮力數學模型的正確性。

參 考 文 獻:

[1]朱俊,鄧智泉,王曉琳,等.單繞組無軸承永磁薄片電機的原理和實現[J].中國電機工程學報,2008,28(33): 68-74.

ZHU Jun,DENG Zhiquan,WANG Xiaolin,et al.Principle and implementation of the single winding bearingless permanent magnetic slice motor [J]．Proceedings of the CSEE,2008,28(33): 68-74．

[2]廖啟新,鄧智泉,王曉琳,等.3對極無軸承交替極薄片電機的理論與實現[J].中國電機工程學報,2008,28(36)：68-72．

LIAO Qixin,DENG Zhiquan,WANG Xiaolin,et al．Theory and realization of 3 pole pairs consequent-pole bearingless slice motor [J]．Proceedings of the CSEE,2008,28(36)：68-72．

[3]左文權,呂艷博,付向東,等.無軸承永磁薄片電機徑向懸浮力精確數學建模[J].中國電機工程學報,2012,32(2): 103-110.

ZUO Wenquan,Lü Yanbo,FU Xiangdong,et al.accurate mathematical modeling of radial suspension force on bearingless permanent magnet slice motors[J].Proceedings of the CSEE,2012,32(2)：103-110．

[4]B?SCH P,BARLETTA N．High power bearingless slice motor (3-4kW) for bearingless canned pumps[C]//Proceedings of the 9th International Symposium on Magnetic Bearings．Kentucky,USA：Kentucky University,2004：1466-1471．

[5]SILBER S,AMRHEIN W,B?SCH P,et al．Design aspects of bearingless slice motors [J]．IEEE/ASME Transactions on Mechatronics,2005,10(6)：611-617．

[6]張少如,吳愛國,李同華.無軸承永磁同步電機轉子偏心位移的直接控制[J].中國電機工程學報,2007,27(12):65-70.

ZHANG Shaoru,WU Aiguo,LI Tonghua．Direct control for rotor eccentric displacement of bearingless permanent magnet-type synchronous motors [J].Proceedings of the CSEE,2007,27(12)：65-70．

[7]朱熀秋,陳金海,左文權.無軸承永磁薄片電動機泵原理及控制系統設計[J].排灌機械工程,2012,30(5): 517-521.

ZHU Huangqiu,CHEN Jinhai,ZUO Wenquan.Principle and control system design for bearingless permanent magnet slice motor pump [J].Journal of Drainage and Irrigation Machinery Enginering,2012,30(5)：517-521.

[8]孫曉東,陳龍,楊澤斌,等.考慮偏心及繞組耦合的無軸承永磁同步電機建模[J].電工技術學報,2013,28(3)：63-69.

SUN Xiaodong,CHEN Long,YANG Zebin,et al.modeling of a bearingless permanent magnet synchronous motor considering rotor eccentricity and coupling relationship of windings [J].Transactions of China Electrotechnical Society,2013,28(3)：63-69．

[9]嚴欣平．無軸承永磁同步電機電磁設計與控制策略研究[D]．重慶：重慶大學,2008．

[10]年珩．無軸承電機的設計與控制研究[D]．杭州：浙江大學，2005.

[11]卜文紹．無軸承電機通用磁懸浮模型及解耦控制系統研究[D]．武漢：武漢大學,2007.

(編輯：張楠)

Radial suspension force model of bearingless permanent magnet slice motor based on coordinate system of rotor eccentricity

SUN Yu-xin,QIAN Jian-lin,ZHU Huang-qiu,ZHANG Wei-yu

(School of Electrical and Information Engineering,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China)

Abstract:For bearingless permanent magnet slice motor (BPMSM),that rotor suspension is not stable in operation.To solve this problem,radial suspension force model was researched as the main factor effecting suspension performance.According to theory of displacement compensation control and concept of angle coordinate system,coordinate system of rotor eccentricity was designed.Based on Maxwell stress tensor method,a radial suspension force model was deduced through integration and trigonometric transformation under the coordinate system.A direct suspension force winding current control system was also designed based on the model.The result is verified by finite element method (FEM),comparing the motor radial suspension force results of FEM and mathematical model calculation.

Keywords:bearingless permanent magnet slice motors; coordinate system of rotor eccentricity; Maxwell force; radial suspension force; finite element method

中圖分類號:TM 343

文獻標志碼:A

文章編號:1007-449X(2016)04-0010-07

DOI:10.15938/j.emc.2016.04.002

通訊作者:錢建林

作者簡介:孫宇新(1968—)，女，副教授，博士研究生，研究方向為電機及控制；錢建林(1989—)，男，碩士，研究方向為無軸承永磁薄片電機及其控制；朱熀秋(1964—)，男，教授，博士生導師，研究方向為無軸承電機精密驅動及控制、磁懸浮高速傳動系統理論及控制、電機及其運動控制；張維煜(1986—)，女，博士，講師，研究方向為飛輪電池磁懸浮系統設計與控制。

基金項目：國家自然科學基金(61174055)；江蘇省教育廳產業化項目(JHB2012-39)；江蘇省“333工程”(2014)；江蘇省“青藍工程”(2014)；江蘇高校優勢學科建設工程資助項目(2014)

收稿日期:2013-10-30