重視發展學生思維能力的典型素材

【摘 要】本文從概念教學、思想教學和解題教學三個方面闡述了“排列與組合”這一內容幾個教學方面的要點，并分別舉例加以分析。從概念教學和思想教學的過程中總結出一些解題策略，從而將抽象的數學問題轉化為具體問題來進行解決。

【關鍵詞】排列；組合；概念；思想滲透；教學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）18-0042-02

【作者簡介】葛海燕，江蘇省泗陽致遠中學（江蘇泗陽，223700）教師，中學一級教師。

“排列與組合”是高中數學中內容抽象、概念和原理不多，與其他數學內容聯系較少的一個相對獨立的教學單元，在教學中是一個難點。但正因為它的概念比較抽象，思想方法比較獨特，且多以實際問題為模型，所以筆者認為，它是發展學生抽象思維能力和邏輯思維能力的好素材。抓好本節教學，能夠培養學生邏輯思維能力及數學知識應用能力，形成良好的數學素養。筆者以為，對本節內容的教學，重點需把握三個方面：一是對基本知識的掌握；二是在教學中滲透教學思想；三是促使學生形成解題策略。

一、理清概念，打好知識基礎

1.正確區分排列與組合。

“排列”“組合”是兩個比較抽象的概念，要分清一個具體問題是排列問題還是組合問題，主要是看從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素是否與順序有關——排列與順序有關，而組合與順序無關。

在學生了解排列組合以后，為了能夠較好地提高他們的識別能力，強化“排列既取又排，組合只取不排”的意識，可以把內容相似但一個用“排列”來解而另一個用“組合”來解的兩道題目放在一起，進行對比分析。例如：從10人里選出一個班長，一個學習委員，一個干事，一共有多少種不同的選法？從10人里選三個代表，一共有多少種不同的選法？

2.正確區分兩個原理。

分類計數原理和分步計數原理是排列組合這一節的兩個基本原理，是解決排列和組合問題的主要依據。分清使用的關鍵在于明確事件需要“分類”還是“分步”完成。兩個原理的共同點都是將一個原事件分解成若干個事件來進行計算。不同點是：在使用加法原理時，每一個分事件完成了，原事件也就完成，即各分事件之間是相互獨立的；在使用乘法原理時，如果分事件完成了，并不是原事件的全部完成，只是完成了其中的某一步，各分事件之間不是相互獨立的，而是相互制約的。通過這兩個概念的比較，讓學生在解決問題時正確地運用這兩個原理，將問題分類和分步解決。

二、精選例題，滲透數學思想

數學思想是數學的靈魂，任何數學問題的解決無不是在數學思想的指導下進行的，同時，數學思想又是對數學知識融會貫通的理解和升華，是更深層次的內容。教學中只有從某些具體教學內容中去挖掘更深層次的數學思想，數學知識才真正有了核心，學生頭腦中才會形成完整的知識體系，而排列組合這一節所蘊含的數學思想極其豐富，是進行數學思想方法教學訓練的好題材，教學中要重視滲透數學思想方法，使學生形成良好的思維品質，培養學生的創新思維能力。

1.分類討論思想。

分類討論是指按一定的標準，把研究對象分成若干部分后逐一解決的方法策略。當研究的對象在不同情況下有不同的結論時，一般要采用分類討論。對于復雜的排列組合問題，靈活地運用分類思想，將問題轉化為若干簡單的排列組合問題，非常有利于問題的解決。

例1：將一個四棱錐P-ABCD的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，現有五種顏色，那么不同的染色方式有多少種？

分析：可以先給P點染色有C 種方法，再分別給A，B，C，D四點染色，根據A，C點顏色的異同來進行分類。若A，C兩點同色，那么染色方法共有：C ×C ×C 種；若A，C兩點異色，那么染色方法共有：A ×C ×C 種；所以，滿足題意的染色方法共有：C （C ×C ×C +A ×C ×C ）種。

本題是只有在區分不同情況后才能確定計算方法的一個實例，可以促使學生理解分類討論的必要性。

2.化歸思想

化歸思想是將研究的問題通過數學的內部聯系和矛盾運動轉化為規范問題的思想方法。其實質是化繁為簡，化難為易，化陌生為熟悉，化未知為已知的一種思想方法。在排列和組合中，需要進行化歸的問題比比皆是，化歸的手法也是多種多樣，某些問題的解決過程就是應用化歸思想的過程。

例2：有5個小電燈排成一排，每一個電燈都有亮或不亮兩種狀態，那么一共可以表示多少種不同的信號？

分析：假設有排好位置的5個空位置，把5個電燈分別以亮和不亮兩種狀態依次填入5個空位，那么每一種填法就唯一對應著一種信號，反過來，任一信號總可以由一種填法得到，這樣，信號問題就轉化為更具體的“填空問題”。完成“填空問題”這件事可以分為5個步驟，每一個步驟都有兩種填法，由乘法原理共有：2×2×2×2×2=32種，故可以表示32種信號。

運用化歸思想可以溝通不同數學內容之間的聯系，有利于學生更清楚地認識數學本質，培養學生思維的靈活性。

3.整體思維。

整體思維就是把需要解決的問題看作是一個整體，通過研究問題的整體結構、整體形式來使問題得以解決。在排列組合的問題中常常會遇到這樣的情況，所以，有時要有意識地放大看問題的視角，從而尋找更適合的方法。

例3：有5個男生和6個女生排成一排，男女分別排在一起，問共有多少種不同的排法？

分析：5個男生排在一起可以看作一個整體元素A，6個女生排在一起可以看作一個整體元素B。元素A，B的全排列共有A 種，而整體A中男生再排共有A 種排法，整體B中女生再排共有A 種排法，所以，一共有A ×A ×A 種排法。

4.逆向思維。

逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的、似乎已經成為定論的事物或觀點反過來進行思考的一種思維方式。它要求學生敢于“反其道而思之”，讓思維向對立面的方向發展，從問題的相反面深入地進行探索。

例4：袋中裝有4個白球，6個黑球，現從中取出4個，如果取到一個白球記2分，取到一個黑球記1分，問總分不低于5分的取法有多少種？

分析：總分不低于5分的取法有很多種，一一列舉很繁瑣，這時，可以考慮總分低于5分的取法，只有當取出的都為黑球這一種取法。總取法有C 種，而總分低于5分的取法有C 種，所以總分不低于5分的取法一共有：C -C =195種。

三、歸納總結，形成解題策略

解題雖然不是教學的最終目的，但它卻是達到教學目的的一種手段。解決排列組合問題，首先要清楚是屬于哪一種題型，然后再進一步分析。常用的排列組合的解題策略有兩條：①特殊元素，位置優先考慮，然后再考慮其他的元素和位置；②“捆綁法”和“插空法”，對于要求幾個元素相鄰的排列問題，可以把這幾個元素看作一個整體捆綁起來與其他元素一起進行排列，然后再對這幾個元素內部進行排列，而對于要求幾個元素不相鄰排列的問題，可以先將其他元素排好，然后將這幾個元素插入排好的元素之間（包括首位和末位兩個位置）。當然，中學數學中涉及排列組合教學的注意點還有很多，其教學方法亦多種多樣，這就要求我們進一步積極思考，不斷地探索研究和總結歸納。

【參考文獻】

[1]高小榮.關于排列組合問題教學的思考和實踐[J].延安教育學院學報，2004（02）：51-52.

[2]魏平.“排列組合和概率”教學三落實[J].中學數學雜志，2003（11）：17-18.