數學求導思想在化學工業難題中的應用

加兵

摘要：文章從建立函數關系式，用求導數的方法解決了合成氨中氫氮最佳投料比這一極值問題，探索和提供了解決極值問題的全新的思路和方向，培養了學生在化學學習過程中養成言之有理、論之有據的習慣。

關鍵詞：平衡氨含量；導數；隱函數；復合函數求導；函數的單調性

文章編號：1008-0546（2016）05-0076-02 中圖分類號：G633.8 文獻標識碼：B

doi：10.3969/j.issn.1008-0546.2016.05.030

一、問題的提出

氨是生產硫酸銨、硝酸銨、碳酸氫銨、氯化銨、尿素等化學肥料的主要原料，也是硝酸、燃料、炸藥、醫藥、有機合成塑料、合成纖維、石油化學工業等的重要原料。因此，合成氨工業在國民經濟中占有十分重要的地位。

氫和氮合成氨的反應如下：

N2（g）+3H2（g）2NH3（g）；ΔH=-92.4kJ·mol-1

此反應具有可逆、放熱、體積縮小的特點。其平衡常數用分壓表示為：

Kp=

由平衡移動原理可知，加壓有利于平衡正移，提高平衡氨含量，考慮到反應速率，本反應還使用了催化劑，并適當提高反應溫度至500℃左右。可是當參加反應的氫氣、氮氣的物質的量比值為多少時可獲得最大的平衡氨含量呢？

二、數學求導思想的應用

在長期的高中教學實踐中，每當有學生就此類問題問到我時，我只能找到已有的實驗數據進行歸納總結，把最佳比值作為一個經驗結論告訴學生。學生接受起來比較勉強，我自己對這樣的教學效果也不滿意，為此我向同事求教討論，查閱了化工資料和高中及大學數學課本，進行研究和探討，用嚴密的數學推理算出了最佳比值。

平衡氨含量是在一定的溫度、壓強和氫氮比等條件下，反應達到平衡時，氨在氣體混合物中的物質的量分數。平衡氨含量即反應的理論最大產量，我們將這一實際的極值問題轉化為數學中的函數問題，進而轉化為求函數的極值問題。

設平衡后混合氣體中含有N2、H2、NH3氣體，平衡時體系總壓為P，以上三種氣體的物質的量分數分別用xN、x、x表示，

那么x+x+x=1①

由道爾頓分壓定律：P（N2）=P·xN2②

PH2=P·xH2③

PNH3=P·xNH3④

令n=，則：xH=n·xN⑤

將⑤帶入①，得到：xH+n·xN+x=1

整理得：xH=（1-x）⑥

將⑥代入⑤得xH=（1-x）⑦

將④、⑥、⑦代入平衡常數表達式：Kp=

=

=

=

將上式變形得：Kp·P 2·=⑧

由⑧可看出影響平衡時氨含量x2NH3大小的因素有三個：平衡體系總壓P，平衡常數KP（與溫度有關），n值（即氫氮比），也可把⑧式看作xNH3=f（n）的一個隱函數，此時問題就轉化為：當n取何值時xNH3最大？導數是研究函數最大（小）值問題的最一般、最有效工具。普通高中課程標準實驗教科書《數學選修2-2》第一章，第4節針對這類優化問題舉出了很多解決范例。

同樣，對于⑧式，當=0時，x可取得極大值，由復合函數求導法則Ⅰ和導數運算法則Ⅱ對⑧兩端分別對n求導：

Kp·P 2·=·

Kp·P 2·

=·

=·⑨

觀察⑨式右邊，分子不可能為零（∵0

故若要=0，必然要求=0

即3n2（n+1）4-4（n+1）3·n3=0

3（n+1）=4n

n=3

即=時，x可取最大值。

又因為H2、N2達平衡過程中的變化量之比也為3∶1，則有效投料為3∶1時，平衡混合物中氨的物質的量分數最大。

對⑨式也有稍簡便的處理：觀察⑨式左邊可知，當x∈（0，1）時，為一取值大于零的單調遞增函數，則在相應定義域上也為單調遞增函數Ⅲ。

故：當取極大值時，取極大值，那么x也同時取到最大值。

令：=0，即=0

3n（n+1）-4（n+1）·n=0

3（n+1）=4n

n=3

兩種證法均是用求導數的方法解決了合成氨中的投料優化問題，即H2、N2的有效投料為3∶1時，平衡混合物中氨的物質的量分數最大。

參考文獻

[1] 崔恩選主編.化學工藝學（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2000

[2] 課程教材研究所著.數學（高中）選修2-2[M]. 北京：人民教育出版社，2011

[3] 同濟大學教研室主編.高等數學（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1993