準確把握學情 科學實施教學

李國良

一、問題提出的背景

《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出：數學活動應該建立在學生認知發展水平和已有知識經驗的基礎之上。了解學生的認知基礎，正確把握學生的探究起點，教學才能真實有效。教學前測正是幫助教師找準教學起點和把握學情的有效手段。

“兩位數乘兩位數筆算乘法”是人教版數學三年級下冊的內容，它的知識基礎是“多位數乘一位數筆算乘法”和“口算兩位數乘兩位數”。本節課的主要目標是讓學生理解算理，掌握算法。那么在教學過程中，哪些是學生已經理解、掌握了的？哪些又是學生學習過程中會遇到的困難？筆者試圖通過對學生的學前調查，找準教學的起點和重難點，以期達到事半功倍的教學效果。

二、教學前測的思考

教學前測是指教學過程中教師在上課前的一段時間內，通過不同的調查方式對學生進行相關知識儲備和相關方法的預先測試，然后進行有針對性的分析并設計教學活動，提出相應的課堂教學策略。

1.前測內容的確定

筆者仔細翻閱了人教版、北師大版和蘇教版等教材，查看了“兩位數乘兩位數筆算乘法”的教學內容。發現此內容前均安排了兩位數乘整十、整百數的口算乘法，人教版和北師大版安排了“14×12”作為新課教學內容，并采用點子圖協助思考與驗證，而蘇教版僅安排了“24×12”作為教學內容。根據對相關教材的分析，筆者擬定了以人教版例題為藍本，提供相應的點子圖作為前測題。要求學生能用自己熟悉的方法和多種方法進行計算。

2.前測對象的選擇

筆者隨機選取城區和農村中心小學各一所學校的三年級兩個班級，共162名學生（分別是80人和82人），在他們學習了“兩位數乘整十、整百數口算乘法”后進行調查。

3.前測目標的定位

通過對不同學生的前測，目標有三：一是了解學生尋求計算兩位數乘兩位數乘法不同的方法，分析每種方法背后的思維水平；二是了解前期的多位數乘一位數筆算和口算兩位數乘法對本知識點的遷移與影響；三是了解學生每種算法是否有正確的算理作為支撐。

4.前測過程的規范

兩所學校的前測均由筆者單獨進行，以班級為單位進行檢測，不提供任何學習材料，要求學生在10分鐘內獨立自主地進行，如規定時間內不能解決，也可以上交。

三、前測結果的分析

為準確、全面了解學生的前測情況，筆者從以下兩個維度進行了統計與分析。

1.計算正確性和方法的多樣性統計與分析

本題設計時就倡導開放性、發散性，鼓勵學生采用多種方法進行計算，學生答題情況如下表：

由此可以看出，有87%的學生至少能用一種方法計算出正確的得數，顯然，他們對于“兩位數乘兩位數”的計算并非空白。但從統計表來看，學生的思維水平有一定的差異。在同學的錯誤答題中，發現了這樣的計算（如下圖），共8人，較有代表性。筆者隨機采訪了一名同學，他認為：12×14是一道兩位數乘兩位數的計算，可以借鑒筆算加法，先2×4=8，再10×10=100，最后相加是108。筆者覺得，筆算加減法的計算方法對學生有較深的影響，造成的原因還是學生對加減法的意義與乘法的意義理解不到位。

2.計算方法有效性的分類與分析

前測過程中，學生究竟采用了哪些方法進行計算？這些方法反映了學生怎樣的學習基礎？有哪些可以作為教學資源？進一步分析后，我發現，學生的計算主要涉及四個大類，十種方法。

一是連加法。它從乘法意義理解的基礎上進行計算，學生知道12個14連加的和與14個12連加的和就是14×12或12×14的計算結果。這種方法無可厚非，但是，對幫助學生掌握筆算的方法和理解筆算中每一步所表示的算理作用不大甚至有干擾。

二是分配律法。他們都將其中的一個因數拆分成兩個數并與另一個因數相乘，其中將一個因數拆分成整十數和一位數居多。顯然，受到多位數與整十數的口算乘法影響，這種方法與豎式計算有著本質的聯系，因此，這是這節課的教學中要重點關注的內容之一。筆者還與拆成9和3的這種方法的兩個學生進行了交流，他們認為在乘法的筆算范圍內只學過最大能乘9的計算。由此，三年級上學期多位數乘一位數的筆算對學生學習更復雜的乘法有一定基礎，但在思維上也有所束縛。而把計算過程用點子圖來呈現，幾乎都只有一半的學生能正確地表示出來，換句話說，這些學生只會計算，不懂每一步為什么這樣計算，也就是缺乏對算理的理解。

三是結合律法。學生能將其中一個因數拆成兩個一位數相乘再依次與另一個因數相乘，是受到多位數乘一位數的啟發。但是，這種方法有其局限性，當兩個因數分別為質數時就無法采用這樣的方法來計算，當然這與筆算乘法也沒有本質的聯系。因此，這種方法不是課堂上要著重研究和討論的。

四是筆算法。筆者發現城區和農村學生分別有32.5%和25.6%的學生采用了豎式計算的方法，但只有8個學生能用點子圖的方法來闡述計算的過程。再仔細翻閱他們的前測卷，發現這些學生中，分別只有3個和1個學生用分配律的方法來進行第二種計算。顯然，前置的預習或家長的指導對他們的學習有一定干擾，只停留在簡單的模仿與記憶上，沒有真正理解筆算的本質所在。

基于以上調查與分析，可以發現，學生面對兩位數乘兩位數筆算（不進位）乘法時，大部分能將其轉化為已學的知識和技能加以解決。因此，筆者認為，本堂課的知識與技能目標可以定位在以下兩點：一是重點討論分配律法中，讓學生通過尋找其與豎式筆算法的聯系，理解豎式計算的算理，學會豎式計算的方法；二是通過討論，使原來只知算法不知算理的學生形成新的、更深層次的認識和理解。

四、前測后的教學實踐

基于對前測內容的梳理與分析，筆者重點設計了如下的環節開展教學。

1.呈現多種解題的思路，尋找計算方法的優化

在出示問題情境后，先請學生說說題中包含哪些信息，可以怎么列式。接著請學生嘗試用多種方法算出結果，并用點子圖表示這些算法。

獨立完成后，筆者重點展示了學生的不同做法，并組織四人小組交流。交流過程中，學生主要呈現了以下四種方法并結合點子圖對算法做了說明：

生1：我們覺得方法1采用3×14=42，再4×42=168，而且也能用點子圖來表示，這個方法是可以的，但是遇到如14×13時就不能將13拆成兩個一位數相乘，所以它的方法有局限性。

生2：我們也認為，當13×13時，不能用這樣的拆分法進行計算。

生3：方法2分成9和3還不如方法3來得簡單，因為14×10=140計算快速，比14×9的正確率要高；14×12我們還拆成了10×12+4×12=168的計算方法，在點子圖中都能比較清楚地表示出它的計算過程。

生4：方法4采用擺豎式進行計算，我覺得這個方法好，它能比較清楚、正確地計算出結果，還用點子圖把計算的過程呈現出來，所以我比較贊同這個方法。

通過討論、質疑，學生不但理解了各種算法的含義，體會到計算方法的多樣化，實現了方法之間的溝通與共享，在辨析的過程中認識到雖然方法有很多，但是各種計算方法側重點不同，在特定情況下還是有優劣之分的。

2.溝通口算與筆算的聯系，明確每步計算的意義

在上述交流、優化后，讓學生找找：哪些方法之間存在聯系，存在怎樣的聯系，并用連一連、畫一畫、寫一寫等方法表示出這種聯系。學生找到聯系后全班展示、交流，其中比較有代表性的如下圖：

交流過程中，部分小組意見如下：

小組1：左邊（分步計算）有28，右邊（豎式計算）也有28，左邊有140，右邊也有140，結果都是168。

小組2：左邊的2和10就是右邊豎式里的12，豎式中就是2和10都乘以14。

小組3：左邊有14×2=28，右邊也有14×2=28，左邊有14×10=140，右邊也有14×10=140，左邊28+140=168，右邊也是28+140=168。

師：剛才說豎式中也有14×10，可是10在哪里呢？

小組4補充：十位上的1就代表10，所以是14×10。

……

從上述幾個小組的展示交流中可以看出，學生對兩位數乘兩位數筆算乘法的算理有了一定的理解，知道了豎式中分別計算的方法其實就是筆算方法中每一步的計算過程。通過交流，學生認知水平之間的差距進一步縮小，這為理解算理、概括算法奠定了堅實的基礎。

隨后，筆者質疑：豎式中2×14和10×14分別表示什么，而168又表示什么？

生1：2×14表示2套一共有多少本，10×14表示10套有多少本，168表示2套與10套合起來一共12套，這樣一共有多少本。

生2：結合點子圖更能發現，一個點子代表一本書，橫的一行為1套14本，兩行就是2×14，也就是2套書一共有28本。下面十行每行14本，就是10×14，也就是10套一共有140本，合起來就是12套一共有168本。

……

通過上述提問、討論，學生對每一步所表示的意義更加清楚與理解，在掌握算理的基礎上促進了筆算乘法計算方法的形成與掌握。

3.梳理筆算乘法的脈絡，提煉豎式計算的方法

計算規則的學習，需要在理解算理的基礎上概括出計算方法，使之成為快速、實用的方法。為此，筆者出示右邊的一組題目，要求學生獨立完成，寫出每一步計算的步驟，并說說每步計算所表示的意義。通過研究過的三個題目的類比、抽象、概括，幫助學生從三個豎式計算的過程中總結出兩位數乘兩位數筆算乘法的計算法則。

接著，教師出示右邊一組計算，讓學生先說說這兩題的計算方法，再讓他們進行比較：這兩題在計算上有什么聯系與區別？

生1：我發現兩位數乘兩位數第一步和兩位數乘一位數是一樣的。

生2：第二步是在第一步上面繼續算下去的，這一步以前是沒有的。

生3：區別是一個是兩位數乘一位數，一個是兩位數乘兩位數，它們都有因數13。

……

通過比較兩者的異同點，幫助學生找出兩位數乘兩位數筆算乘法的關鍵之處，讓學生明白今天的學習是多位數乘一位數筆算乘法的深化。這樣既尋找了它的“根”，也能更好地理解算理、掌握算法，進而重新認識算法的意義。

有了上述研究后，筆者出示313×12（如下圖）的豎式，提問：你能試著用豎式計算342×11嗎？想一想與今天學習的兩位數乘兩位數筆算乘法有什么聯系？學生饒有興趣地馬上計算出結果是3756。

生1：其實這道題的計算過程與13×12的計算過程是一樣的，只不過是變成了313×12，也就是第一個因數有了百位。

生2：13×12與313×12都可以把12拆成10乘第一個因數，再用2乘第一個因數，最后把結果相加，無非是結果大了一點，其實方法是一樣的。

師：同學們，筆算乘法我們從三年級上學期開始研究，先學習了多位數乘一位數的筆算，今天學習筆算兩位數乘兩位數（不進位）。其實，第三題是四年級上冊的內容，現在你是否覺得四年級學習的筆算乘法也可以在今天進行正確的計算了呢？

通過這個環節，整體梳理并呈現了筆算乘法在教材中的分布與走向，讓學生不僅回憶了原來的知識，還展望了未來將要學習的知識，但它們的目標指向都集中在對算理的理解和算法的掌握上。這印證了南京大學教授鄭毓信所說的：數學知識不求全，而應求聯；數學技能不求全，而應求變。

從上述教學實踐中，筆者體會到，教學前測不僅可以幫助我們了解學生基礎，讓我們的教學設計更貼近學生實際，更有針對性，避免閉門造車的現象。而且，前測過程中學生呈現的不同做法和暴露出來的重點問題可以作為課堂上研究的素材，這樣我們的課堂教學就能更“接地氣”，更能夠體現“生本教育”的理念。