關于平面解析幾何復習中學生運算能力培養的幾點思考

李仲名

一、問題的提出

平面解析幾何（以下簡稱“解幾”）是高考考查的重點內容，高考中解幾的得分常常不盡如人意。學生普遍認為解幾難，難在繁瑣的運算。因此，提高解幾的得分，運算能力是關鍵。筆者對此做了一些有益的探索。

二、對運算能力的認識

一些師生認為運算能力就是“死算”的能力，這樣的理解是片面的。筆者認為：運算能力是“想”指導下的“算”；既檢驗學生的知識水平，又考驗他們的心理和意志。算，包含了算法、算理、策略，需要思考和甄別。不合理的算法導致繁瑣，不能直擊量與量之間的聯系，最終很容易放棄。因此，學生的運算能力，最終取決于學生的思維能力。

三、如何培養學生的運算能力

1.提高認識

提高學生的運算能力，就要對解幾的計算有正確的認識：解幾是用代數的方法研究幾何問題，運算是不可避免的，出現一些復雜運算也很經常，培養學生的運算能力是解幾教學的一項重要任務。算是我們學科教學的要求，也是我們學生應具備的一種能力，因此，要讓學生明白：不能怕算，要重視算。

2.重視基礎知識、基本方法的復習

提高學生的運算能力，著眼點還是要重視基礎知識、基本方法。融會貫通了，才能為我們尋求合理簡單的解法打下堅實的基礎。例如：2011年江蘇高考第（18）題：如圖，在平面直角坐標系xOy中，M，N分別是橢圓+=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為P，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k。

①當直線PA平分線段MN，求k的值；

②當k=2時，求點P到直線AB的距離d；

③對任意k>0，求證：PA⊥PB。

本題的第③問意味深長，給了不同層次學生以不同的發揮空間。如果學生設出點P的坐標，由橢圓的對稱性得出點A的坐標，由于點C是點P在x軸上的投影，因此，點C的坐標已知，從而直線AB的方程可得，用直線AB的方程與橢圓方程聯立，可將點B的坐標計算出，從而可以證得kPA·kPB=-1，得到PA⊥PB。這一思路看似簡單自然，但由于運算量很大，能夠證得結果的學生少之又少。如果我們的學生能夠充分利用橢圓的對稱性，挖掘圖形的幾何特征，再利用“點差法”這種解決直線與橢圓的基本方法，就能很輕松地化解繁瑣運算，獲得問題的簡捷解法。

設A（x1，y1），B（x2，y2），A，B中點N（x0，y0）則P（-x1，-y），C（-x1，0）

∵A，B，C三點共線，∴===kAB又因為點A，B在橢圓上，∴=1，兩式相減得：，

∴kONkPA==-×2kAB=-1，∵ON∥PB，∴PA⊥PB

解幾是代數與幾何的結合體，既要重視代數的運算與推理，又要關注幾何性質的應用。既要重視“死算”，又要重視“巧算”。但不管怎么算，都要以基礎知識，基本方法為依托。因此，重視基礎，打好基礎，是提高解幾運算能力的關鍵。

3.巧代換，妙轉化

運算能力強不強，主要看學生對字母的運算，特別是涉及多元變量運算問題的處理和應變能力，能否化繁為簡成為關鍵。我們看2012年的江蘇高考第（19）題：如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F1（c，0）。已知（1，e）和（e，）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率。

①求橢圓的離心率；

②設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P。

（i）若AF1-BF2=，求直線AF1的斜率；

（ii）求證：PF1+PF2是定值。

重點分析（i）若AF1-BF2=，求直線AF1的斜率；

解析：由①知F1（-1，0），F2（1，0）又因為直線AF1與BF2平行，所以可設直線AF1的方程為x+1=my，直線BF2的方程為x-1=my.設A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0，y2>0.由+y21=1x1+1=my1，得（m2+2）y21-2my1-1=0，解得y1=故AF1=①同理，BF2=②由①②得AF1-BF2=，解=得m2=2，注意到m>0，故m=，所以直線AF1的斜率為。

以上解法中，我們在計算出左焦半徑AF1后，沒有重復解方程組求右焦半徑BF2，而是用-m代換①式中的m，即為右焦半徑的BF2長，代換思想的產生，取決于學生對橢圓幾何性質的理解與應用。當然，如果學生能夠延長AF1交橢圓于點B1，由橢圓的對稱性知：線段BF2=B1F1將兩條焦半徑變成一條過右焦點的弦。利用焦半徑公式問題轉化為ex1-x2=，再利用韋達定理，問題很快獲解。巧妙地將問題轉化，化陌生為熟悉，避免了求交點坐標，從而減少了大量的繁瑣運算。對理科學生，還可以通過建立極坐標系，將問題轉化為，其中e，p為常數，解出cosθ，得到tanθ即為斜率。因此，巧妙代換，合理轉化，也是提高學生運算能力的重要思想與途徑。

4.復習建議

在解幾的復習課上，要多給學生時間和空間，讓學生多動筆，多思考，親身經歷求解過程。不要出現老師代替學生運算的現象。我們發現，解幾復習課中，老師為了趕進度，往往分析一下解題的思路就把答案報給學生，這就是典型的老師代替學生運算的現象；加強算法、算理以及運算策略的指導，提高學生的運算求解能力；重視代數運算的同時，要注意對幾何性質的挖掘，達到簡化運算的目的；加強考試心理指導，培養學生意志品質。

總之，只要我們提高認識，打好基礎，重視策略，學生運算能力的培養與提升就指日可待。