試析證明三角形全等的技巧

劉安建

【摘 要】全等三角形是初中平面幾何知識中最為重要的部分，也是中考的必考內容。通常情況下，初中幾何都會通過角邊角、邊角邊、邊邊邊、角角邊四種基本判定定理來求證三角形全等，而本文則分析了利用兩個關鍵、三類圖形和兩種方法來證明三角形全等的技巧，希望可以幫助中學生豐富解題手段，更深層次了解三角形全等的解題技巧。

【關鍵詞】三角形全等 證明 兩大關鍵 三類圖形 兩種方法

一般來說，證明三角形全等就是證明三角形的角和線段相等，這也是初中平面幾何的基礎理論。所以說，以多角度學習證明三角形全等的方法就是學好初中平面幾何的關鍵，對后續更復雜的幾何知識學習也很有幫助。

一、證明三角形全等的兩大關鍵

三角形全等的基本理念就是找準角與角、邊與邊之間的對應關系，所以本文針對三角形全等證明歸納兩大關鍵要點：

第一，全等三角形的公共邊一定要是對應邊，而其公共角即對頂角也必須全是對應角。

第二，在全等三角形中，相等的邊邊關系所對應的角也必須為對應角；反之，相等的角其所對應的邊也一定是對應邊，如此才能成立三角形全等這一結論[1]。

二、證明三角形全等的三類圖形

在初中平面幾何教學中，通常認為的全等三角形圖形形態應該包括三種：

（一）平移型全等三角形

圖1 平移型全等三角形

如圖1中所示的即為平移型全等三角形，兩個三角形在平移后依然是保持全等關系不變的，以下舉例來說。

例1：如圖2，在兩個三角形△DEF與△ABC中，如果邊EF∥BC，且有 ∠EDF=∠BAC，已知邊DE=AB=8，AC=12，BC=10，那么邊EF的長度為多少？

圖2 平移三角形DEF和ABC

因為△DEF與△ABC符合ASA判定定理，∠EDF=∠BAC且AB=DE=8，那么BC=10，所以就有EF=BC=10.

（二）對稱型全等三角形

圖3 對稱型全等三角形

例2：如圖4，已知∠DBA=∠CAB，邊DB=CA，DA與CB的相交點為O，而E為AB邊的中點，試證明OE與AB的位置關系.

圖4 對稱三角形CAB和DBA

首先，根據ASA判定定理可以得知，因為∠DAB=∠DBA，所以△DBA與△CAB應該為全等三角形，E為AB邊的中點，所以OB=OA，∠OBA=∠OAB，所以邊OE與邊AB應該呈垂直關系，即OE⊥AB.

（三）旋轉型全等三角形

圖5 旋轉型全等三角形

例3：如圖6，在平行四邊形ABCD中，E、F兩點位于對角邊AC之上，如果AF=CE，求問DF與BE邊的關系.

圖6 旋轉三角形ADF與CBE

該題求解的是DF與BE兩邊的關系，從經驗來看，兩邊應該屬于平行關系，若想證明DF∥BE，就必須先證明△ADF與△CBE為全等三角形。因為AD∥BF，且AD=BC，∠DAC=∠BCA，AF=CE，所以根據SAS判定定理，可以證明△ADF與△CBE為全等三角形。在證明兩三角形全等后，就可以得出結論，邊DF=BE，且兩邊也是平行關系，DF∥BE.

以上三種圖形就是在對稱、平移和旋轉狀態下的三種全等三角形，對它們的判定還是要基于四大判定定理，并通過變換圖形的角度、位置、垂直平行關系來證明它們可能存在的全等關系。對于初中生來說，它的難點就在于要用角度變換的思維來看待對三角形全等的證明，并學會靈活運用三角形全等的四個判定定理進行證明[2]。

三、證明三角形全等的兩種方法

在初中平面幾何學習中，對三角形全等的證明存在順推和逆推兩種方法，本文將做出一一解析。

（一）順推分析法

所謂順推分析自然是從已知條件出發，利用上述提到的四種判定定理或其他平面幾何知識進行推導，再聯系結合題目中的已知條件來發展推理過程，最后得出結論。

例4：如圖7，線段AB中點為C，其中DC邊平分∠ACE，有∠1=∠2，EC邊平分∠BCD，有∠2=∠3，且EC=DC，證明△DAC與△EBC為全等三角形.

圖7

該題目中所給出的已知條件十分充分，因為C點為線段AB的中點，所以CA=CB。因為DC、EC邊平分∠ACE與∠BCD，所以∠1=∠2=∠3。又因為DC=EC，根據SAS判定定理，至此可以說明△DAC≌△EBC.

（二）逆推分析法

逆推分析法是從結論入手的解題方法，它所分析的是到達結論的可行性路徑，并且根據結合所給出的已知條件和結論來尋找到正確的證明方法。在三角形全等的求解過程中，逆推分析法是十分常見的。

例5：如圖8，已知BA=CA，DA=EA，請求證BD=CE.

∵DA=EA，BA=CA

∴∠C=∠B，∠1=∠2

根據SAS，∵∠B+∠3=∠1，∠C+∠4=∠2

∴∠3=∠4

DA=EA，BA=CA，∴可得△BAD≌△CAE，∴BD=CE.

以上為順推分析和逆推分析的例題求證，如果能夠嫻熟掌握上述兩種方法技巧，學生還可以結合順推與逆推，用兩種技巧共同解決習題，求證三角形的全等關系[3]。

四、總結

除上述解題方法外，利用公共邊、公共角、對頂角等方法也能證明三角形的全等關系。因此可以說，初中平面幾何中三角形全等的求解方法是豐富多樣的，教師在教學過程中應該在扎實掌握四大判定定理、邊角關系的基礎理論的基礎上，充分打開學生的思路，開闊學生的視野，從不同角度、不同層面來啟迪和開發學生的解題能力。而三角形全等證明問題作為初中平面幾何的基礎知識，也應該被學生所熟悉運用，這對他們未來面對和解決更復雜的幾何題型很有幫助。

【參考文獻】

[1]婁菊紅.淺談證明三角形全等的一些技巧[J].中學生數理化（八年級數學人教版），2012（07）：6-7.

[2]錢燕群.三角形全等的證明及應用舉例[J].讀寫算（教育教學研究），2011（08）：118-119.

[3]王志玲.八年級學生學習全等三角形推理與證明的錯誤分析[D].漳州：閩南師范大學，2015.