淺談三角恒等變形的策略與方法

張劍洪

三角函數作為高中數學主干知識，在每年的高考解答題中都進行了考查，主要分為以下幾類：一是考查三角函數的圖象和性質，尤其是三角函數的周期、最值、單調性、圖象變換、對稱分析（對稱中心、對稱軸）；二是考查三角函數式的恒等變形（化簡求值）；三是考查正弦定理和余弦定理；四是考查綜合與應用，運用三角知識解決實際問題及三角知識與立體幾何、解析幾何、平面向量、數列等綜合命題，

體現三角的工具性作用。為了更好地解決此類問題，本文對三角恒等變形及其應用作一總結分析。

三角恒等變形的實質是對角、函數名稱及運算結構的轉化，而轉化的依據就是一系列的三角公式，因此對三角公式在實現這種轉化中的應用應有足夠的了解：①同角三角函數關系——可實現函數名稱的轉化；②誘導公式及和、差、倍角的三角函數——可以實現角的形式的轉化；③倍角公式及其變形公式——可實現三角函數的升冪或降冪的轉化，同時也可完成角的轉化。

三角函數的恒等變形的通性通法是：從函數名、角、運算三方面進行差異分析，常用的技巧有：切割化弦、降冪、用三角公式轉化出特殊角、異角化同角、異名化同名、高次化低次等。下面通過例題的解題證明，對三角恒等變形的解題策略與方法作初步的探討研究。

一、變換函數名

對于含同角的三角函數式，通常利用同角三角函數間的基本關系式及誘導公式，通過“切割化弦”、“正余互化”等途徑來減少或統一所需變換的式子中函數的種類，這就是變換函數名法。它實質上是“歸一”思想，通過同一和化歸以有利于問題的解決或發現解題途徑。

例1：已知，，求的值.

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六、添補法

與代數恒等變換一樣，在三角變換中有時應用添補法對原式作一定的添項裂項會使某些問題很便利地得以解決。將原式“配上一個因子，同時除以這個式子也是添補法的一種特殊情形”。

例9：求的值.

分析：題中的三個角成倍數關系，添加一項可以實現降冪升角從而解決問題.

解：

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以上探討了三角變換中的六種變換思想和解題方法，在實際解題中這些方法是交織在一起的，混合于同一問題中靈活使用。掌握這些變換方法的前提是熟悉公式，善于公式的變形運用，同時注意縱橫聯系數學知識用發散性的思維考慮問題。

三角恒等變形在整個初等數學中涉及面廣，是常用的解題工具，而且由于三角公式眾多，方法靈活多變，若能熟練掌握三角恒等變形的技巧，不但能加深對三角公式的記憶與內在聯系的理解，而且對發展數學邏輯思維能力，提高數學知識的綜合運用能力都大有益處。