高中數學超幾何分布與二項分布解題策略

周小興

【摘 要】概率與統計中超幾何分布與二項分布在高考中也處于相對重要的位置，命題方向主要有兩類：第一類命題直接考查二項分布和超幾何分布；第二類是借用二項分布和超幾何分布的計算概率的思想，但題目所研究的隨機變量并不服從二項分布和超幾何分布。正確識別隨機變量分布模型，了解命題規律，有針對性練習，才能提高解題效率。

【關鍵詞】超幾何分布；二項分布；解題策略

超幾何分布與二項分布是兩個非常重要的、應用廣泛的概率模型，實際中的許多問題都可以利用這兩個概率模型來解決。概率與統計中超幾何分布與二項分布在高考中也處于相對重要的位置，命題方向主要有兩類：第一類命題直接考查二項分布和超幾何分布；第二類是借用二項分布和超幾何分布的計算概率的思想，但題目所研究的隨機變量并不服從二項分布和超幾何分布。學生在平時學習中應重視超幾何分布與二項分布概念辨析，正確識別超幾何分布與二項分布模型，了解命題規律，有針對性練習，才能提高復習效率。

一、超幾何分布與二項分布定義

一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*。此時稱X服從超幾何分布，記為X～H（n，M，N）。

在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A發生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率為：P（X=k）=CnkPk（1-p）n-k

（k=0，1，2，...n），此時稱隨機變量X服從二項分布記作X～ B（n，p）。

超幾何分布是不放回抽取，而二項分布是放回抽取，為多次獨立重復實驗；超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；超幾何分布的應用中，常見的模型常有較明顯的兩部分，如“正品”與“次品”，“男生”與“女生”，“優”與“劣”等。二項分布的應用中，常見的模型涉及試驗次數，如“射擊次數”， “摸球次數”， “幾人試驗”。

二、超幾何分布與二項分布直接應用

超幾何分布與二項分布直接應用題目主要考查超幾何分布與二項分布概念，

首先根據題意判斷隨機變量是超幾何分布還是二項分布，然后求隨機事件概率。

例1.在一個口袋中裝有30個球，其中有10個紅球，其余為白球，這些球除顏色外完全相同。

（1）游戲者一次從中摸出5個球.摸到4個紅球就中一等獎，那么獲一等獎的概率是多少？

（2）游戲者一次從中摸出1個球，并放回，連續摸5次。摸到4個紅球就中一等獎，那么獲一等獎的概率是多少？

解：（1）游戲者一次從中摸出5個球，相當于一次從中摸出1個球，不放回，連續摸5次，此問題歸結為超幾何分布模型。用X表示摸到的紅球數，則

所以獲一等獎的概率是0.029.

（2）游戲者一次從中摸出1個球，并放回，連續摸5次，相當于做了5次獨立重復試驗， 此問題歸結為二項分布模型。用X表示摸到的紅球數，則

所以獲一等獎的概率是0.041。

三、借用超幾何分布與二項分布計算隨機事件概率

借用超幾何分布與二項分布計算隨機事件概率是指題目所求隨機變量X不滿足超幾何分布與二項分布，但是與之相關隨機變量Y滿足超幾何分布與二項分布，此時可以借用隨機變量Y的分布列研究隨機變量X的分布列。

例2.袋中有7個大小相同的球，其中有3個白球、4個黑球。若每次摸到1個白球得2分，摸到1個黑球得1分。求：

（1）從袋中一次摸出4個球，恰得5分的概率。

（2）從袋中有放回地一個一個地摸4次，恰得5分的概率。

解：（1）從袋中一次摸出4個球，摸到的白球數記為Y，得到分數記為X，顯然Y服從超幾何分布，X不服從超幾何分布，但是只有摸出1白、3黑就得5分，即，故可以借用超幾何分布的計算隨機事件“從袋中一次摸出4個球，恰得5分”的概率。

所以

（2）從袋中有放回地一個一個地摸4次，摸到的白球數記為Y，得到分數記為Z，顯然Y服從二項分布，Z不服從二項分布，但是只有摸出1白、3黑就得5分，即P（Z=5）=P（Y=1），故可以借用二項分布的計算隨機事件“從袋中一次摸出4個球，恰得5分”的概率。

所以P（Z=5）=P（Y=1）