構造法在數學競賽中的應用

陳麗芳

構造法是一種富有創造性的解題方法，他很好地體現了數學中發現、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗、探索、歸納、概括、特殊化等重要的數學方法，對培養多元化思維和創新精神，豐富我們的想象力，提高我們分析問題和解決問題的能力大有裨益。

那么，如何去構造呢？構造法的內涵相當豐富，他以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性為基礎，針對具體問題的特點而采用相應的解決辦法。因此，在解題的過程中就要就學生思路開闊、觀察細微、思維靈活、勇于創新，變抽象為具體、陌生為熟悉，使問題得到巧妙解決。

一般來說用構造法解題有如下幾個步驟：①觀察、分析題目的條件和結論，有時要對條件和結論作適當變形。②聯想熟悉的與已知條件或結論有關聯的數學模式。③構造心得數學模式。④用構造出的數學模式溝通解題思路，解決原問題。

常用于構造法的數學模式有函數、方程、恒等式、圖形、配對式、不等式、中介媒體等，還有一些特殊的如反例、特例、等價命題等模式。其中尤以前四種應用最為廣泛。下面我們就這幾個方面選幾例來說明。

一、構造函數

通過構造適當的函數模型，運用函數的性質來化解問題，可以解決許多不等式和代數式的求值問題。

例1：（第七屆美國奧賽試題）已知a、b、c、d、e是滿足a+b+c+d+e=8， a2+b2+c2+d2+e2=16的實數，試確定e的最大值.

分析：觀察條件a+b+c+d+e=8， a2+b2+c2+d2+e2可以聯想到：

（x-a）2+（x-b）2=2x2-2（a+b）+a2+b2，因此可以構造函數y=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+（x-d）2.

二、構造方程

構造方程，考慮應用韋達定理或其他方法構造出系數含有該變量的一元二次方程，然后用判別式證明：

例2：（2007《數學周報》杯全國初中數學競賽試題）實數a、b、c滿足a≤b≤c，且ab+bc +ca=0，abc=1，求最大的實數k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立。

分析：由已知條件可得聯想到一元二次方程。

解：構造一元二次方程，有已知可知c>0，，解得，∴（當 時取等號）所以最大實數k=4.

三、構造恒等式

需要我們在平時的積累，在看到題目時能聯想到熟悉的恒等式。

例3：（1990年全國初中數學聯賽試題）若方程（x-a）（x-8）-1=0有兩個整數根，求a的值。

分析：有已知可構造恒等式（x-x1）（x-x2）。

四、構造圖形

即數形結合的方法，當求證的結論或條件有較明顯的幾何意義時，應用構造圖形法，往往能夠快捷地解決問題，同時也需要有對式子的敏感。

例4：已知a、b、c>0，滿足關系式，a2+b2=c2，求證：an+bn

分析：條件a2+b2=c2的幾何意義為一個直角三角形的三邊，構造一個直角三角形.

五、構造配對式

例5：（西安交通大學少年班入學試題）求比大的最小整數。

分析：如直接計算，是非常困難的，一般對這類題目條件，都是運用配對法，即構造。

六、構造不等式

例6：（2006年《新知杯》上海市初中數學競賽試題）已知n（n>1）個整數（可以相同a1，a2，…，an滿足a1+a2+…+an=a1a2…an=2007。求n的最小值。

分析：條件中的a1，a2，…，an是無差別的，因此我們可以構造不等式a1+a2+a3≤a1+a1+a1，使a1，a2，a3 有差別。

由以上例題可知，若從構造的方法來分析，有分析題設或結論的本身特征、找與題設或結論有必然聯系的模式、聯想與題設或結論有相似的結構模式、挖掘題設或結論的幾何意義、將題設或結論與相關的命題進行類比構造等方法。這些方法從以上的例題中都能體現出來：①分析題設或結論的本身特征。有些題的題設或結論中隱含著問題的本質特征，需要結合其特征去構造。②找與題設或結論有必然聯系的模式。對于有些關于自然數的不等式問題，與數列有著密切的聯系，這時可構造有關數列模式，利用其單調性解決。③聯想與題設或結論有相似的結構模式。這里用到比較多的有與韋達定理相似的結構、與判別式相似的結構。④將題設或結論與相關的命題進行類比構造。有些題目的條件中，我們會看到一些熟悉的味道，但卻不一樣的條件，這時要抓住這種熟悉來思考。

從上述可以看出，優美、自然的構造法常常是建立在我們已有的知識基礎之上的，它生成于認知結構的最頂端，不僅能使學生強烈地感受到數學的美妙以及構造法的神奇，而且能夠使得學生激發起探索的意識和創新的欲望，如果能夠恰當地運用構造法解題，可以突破思維的常規，使思路變得簡潔、明快、精巧、靈活，可謂好處多多，因此在平時的教學或競賽培訓中，加強構造性思維的訓練，對豐富學生的想象，培養學生的創造性思維能力，無疑是有十分重要的作用。

參考文獻：

[1]張貴余.構造法解競賽題[J].中學生數理化，2008.

[2]談躍年.靈活運用構造法解競賽題[J].數理化學習，2008.