“本是同根生”說說這一特殊的函數

錢佳玲

【摘 要】本文揭示了數列是一類特殊的函數這一本質，列舉了在某些數列問題上，可以利用函數的知識來解決，提高解題速度。另一方面，由于數列的特殊性，與函數問題又有區別，在利用函數思想解決數列問題的時候，不能一概而論，要認清其中差異，才能提高正確率，從而提升思維能力。

【關鍵詞】函數；數列

一、會用函數知識解決數列的問題

既然數列可以看出特殊的函數，那么能否用函數的知識來解決數列的一些問題呢？

例1：已知數列{an}的前n項和為Sn，Sn=n2-4n+6，求Sn的最小值。

分析：由于數列可以看成特殊的函數，那么Sn就可以看成是關于n的二次函數，由對稱軸n=2，可以快速得出這個數列Snmin=2。

例2：等差數列{an}中，已知a1=25，S9=S17，則此數列前多少項和最大？

分析：由于公差不為0的等差數列的Sn=An2+Bn，由題可知這個二次函數的對稱軸為n=13，所以前13項和最大。

反思：上面兩個題目利用函數的知識都可以快速的解決，簡單方便，但是這邊涉及到的對稱軸恰好是整數，若不是整數，就需要我們抓住數列的特殊性，避免發生錯誤。

例3：在數列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an（n∈N*），則a2014=

解：法一

通過遞推關系式，可以一一列舉出等，由此發現這是一個以6為周期的一個循環過程。所以只需看2014中有幾個這樣的周期就可以了。

法二

由題意，其實告訴了我們f（n+2）=f（n+1）-f（n）的抽象函數關系式，且n∈N*，

∵f（n+2）=f（n+1）-f（n） （1）

令n=n+1

∴f（n+3）=f（n+2）-f（n+1） （2）

（1）+（2），得f（n+3）=-f（n）

令n=n+3，得f（n+6）=f（n）

從上式可以看出此抽象函數以6為周期且每隔兩項的值是相反的，還可以得出每個周期的和為0，同樣可以得到

法二很巧妙的利用了抽象函數的知識解決了數列的問題，使得此數列的特征更加明顯，解題也更加規范。

二、抓住特殊性，精準做題

在利用函數知識解決數列問題的時候，往往會忽略數列的特殊性而導致錯誤。這時候一定要認準數列的特殊性，抓住其本質，才能做到精準做題。

例1：已知數列{an}的前n項和為Sn，Sn=n2-5n+6，求Sn的最小值。

分析：Sn是關于n的二次函數，但是這個二次函數的對稱軸為n=2.5，由于數列的特殊性，n只可取正整數，當n=2或3時，Sn都能取到最小值0。

例2：已知數列{an}是遞增數列，且an=n2+λn，求實數λ的取值范圍

解：法一

法二

∵an=n2+λn是關于n的二次函數，根據函數圖像的單調性

∴只需對稱軸滿足：

即λ>-3

反思：解法一根據數列單調性的定義，轉化成恒成立的問題。解法二利用函數的知識，但是在實際批閱過程當中，學生出現了錯誤答案，究其原因，是只考慮了而得來的錯誤答案，其根本原因還是在于沒有抓住數列的特殊性，與連續函數圖像的區別。

例3：設，且{an}是遞增數列，則實數a的取值范圍是 錯解：把此數列完全等同于分段函數，只保證了分段函數在每一段的單調性和在分段點處的遞增性：∵{an}是遞增數列

由于沒有考慮到數列是個特殊的函數，自變量n∈N*，對應的圖像為一個個孤立的點，所以在分段點處不需要考慮絕對的遞增性，只需保證a7

∵{an}是遞增數列

錯解的解法是學生在實際解題過程當中常犯的錯誤，只有認識到數列的圖像是一個個孤立的點，理解數列單調性的本質才能做到信手拈來。

“本是同根生”，抓住函數這一條根，尋找數列的不同點，在用函數思想解決數列問題的同時，又能關注到數列這一條“藤”，注意數列的特殊性，必定可以對數列有一個更深刻的了解。