電磁感應中守恒觀點的應用

賈華

無論是使閉合回路的磁通量發生變化，還是使閉合回路的部分導體切割磁感線，都要消耗其它形式的能量，轉化為回路中的電能。這個過程不僅體現了能量的轉化，而且保持守恒。分析問題時，首先牢牢抓住能量守恒這一基本規律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量參與了相互轉化，如有摩擦力做功，必然有內能出現；重力做功，就有重力勢能參與轉化；安培力做負功就將其它形式能轉化為電能；然后利用能量守恒定律列出方程求解。

【例1】如圖所示，兩根間距為l的光滑金屬導軌（不計電阻），由一段圓弧部分與一段無限長的水平段部分組成。其水平段加有豎直向下方向的勻強磁場，其磁感應強度為B，導軌水平段上靜止放置一金屬棒cd，質量為2m。，電阻為2r。另一質量為m，電阻為r的金屬棒ab，從圓弧段M處由靜止釋放下滑至N處進入水平段，圓弧段MN半徑為R，所對圓心角為60°，求：

（1）ab棒在N處進入磁場區速度多大？此時棒中電流是多少？

（2）ab棒能達到的最大速度是多大？

（3）ab棒由靜止到達最大速度過程中，系統所能釋放的熱量是多少？

解析：（1）ab棒由靜止從M滑下到N的過程中，只有重力做功，機械能守恒，所以到N處速度可求，進而可求ab棒切割磁感線時產生的感應電動勢和回路中的感應電流。

ab棒由M下滑到N過程中，機械能守恒，故有：

解得

進入磁場區瞬間，回路中電流強度為

（2）設ab棒與cd棒所受安培力的大小為F，安培力作用時間為 t，ab 棒在安培力作用下做減速運動，cd棒在安培力作用下做加速運動，當兩棒速度達到相同速度v′時，電路中電流為零，安培力為零，cd達到最大速度。

依動量守恒定律得 解得

（3）系統釋放熱量應等于系統機械能減少量，故有

解得

【例2】圖中a1b1c1d1和a2b2c2d2為在同一豎直平面內的金屬導軌，處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌所在平面（紙面）向里。導軌的a1b1段與a2b2段是豎直的，距離為l1；c1d1段與c2d2段也是豎直的，距離為l2。x1 y1與x2 y2為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細桿，質量分別為和m1和m2，它們都垂直于導軌并與導軌保持光滑接觸。兩桿與導軌構成的回路的總電阻為R。F為作用于金屬桿x1y1上的豎直向上的恒力。已知兩桿運動到圖示位置時，已勻速向上運動，求此時作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率。

解析：設桿向上的速度為v，因桿的運動，兩桿與導軌構成的回路的面積減少，從而磁通量也減少。

由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢的大小 ①

回路中的電流沿順時針方向，大小為 ②

兩金屬桿都受安培力作用，作用于桿x1y1的安培力方向豎直向上，大小為 ③

作用于桿x2y2的安培力為方向豎直向下，大小為 ④

當桿作勻速運動時，根據牛頓第二定律有 ⑤

解以上各式得 ⑥ ⑦

作用于兩桿的重力的功率的大小為 ⑧

電阻上的熱功率 ⑨

由⑥⑦⑧⑨式，可得 ⑩

例3.如圖所示，電動機牽引一根原來靜止的、長L為1m、質量m為0.1kg的導體棒MN上升，導體棒的電阻R為1Ω，架在豎直放置的框架上，它們處于磁感應強度B為1T的勻強磁場中，磁場方向與框架平面垂直。當導體棒上升h=3.8m時，獲得穩定的速度，導體棒上產生的熱量為2J，電動機牽引棒時，電壓表、電流表的讀數分別為7V、1A，電動機內阻r為1Ω，不計框架電阻及一切摩擦，求：

（1）棒能達到的穩定速度；

（2）棒從靜止至達到穩定速度所需要的時間。

解析：（1）電動機的輸出功率為： W

電動機的輸出功率就是電動機牽引棒的拉力的功率，所以有

其中F為電動機對棒的拉力，當棒達穩定速度時

感應電流

由①②③式解得，棒達到的穩定速度為 m/s

（2）從棒由靜止開始運動至達到穩定速度的過程中，電動機提供的能量轉化為棒的機械能和內能，由能量守恒定律得： 解得 t=1s