巧用數學思想方法 妙解初中數學問題

陳強

數學問題蘊涵著豐富的數學思想方法，在初中數學解題教學中，教師要注意結合具體的數學問題進行數學思想方法的有效滲透，從而幫助學生開拓解題思路，快速找到解題突破口，提升學生數學解題能力.

一、巧用分類討論思想解數學問題

分類討論思想是解數學問題中至關重要的解題策略.它是指在解某些數學問題時，有時會出現多種情況，此時我們需要一一對多種情況進行分類討論，然后綜合概括和歸納多種討論結果，得出正確答案.巧用分類討論思想，有助于避免學生思維的片面性，培養學生思維的邏輯性、嚴密性和條理性，提升學生全面思考問題、分析問題和解決問題的能力.

1.巧用分類討論思想解函數問題

在初中數學學習中，分類討論思想在函數中的應用較為廣泛，在求解函數問題過程中，教師要注意引導學生正確地運用分類討論思想，以避免出現漏解.

例1 求函數y=（k-1）x2+kx+1與x軸的交點坐標.

分析 由于本題中的要件并不是唯一的，因此，在進行求解時需要對問題可能出現的情況進分類討論：

（1）當此函數為一次函數時，k=1，可求得與x 軸交點為（-1，0）；

（2）當此函數為二次函數時，k≠1，Δ=（k-2）2，

①當Δ=0時，即k=2，有一個交點（-1，0）；

②當Δ<0時，即（k-2）2<0，不存在k的值；

③當Δ>0時，即k≠2，有兩個交點（-1，0）、（11-k，0）.

綜上所述，當k=1時，與x軸交點為（-1，0）；當k≠1且k≠2時，與x軸交點為（-1，0）、（11-k，0）；當k=2時，與x軸交點為（-1，0）.

2.巧用分類討論思想解實際應用題

數學源于生活，應用于生活，巧用分類討論思想解實際應用問題，有助于培養學生多向思考問題、分析問題和解決問題的能力.

例3 某服裝廠生產一種西裝和領帶.西裝每套定價200元，領帶每條定價40元，廠方在開展促銷活動期間向顧客提供兩種優惠方案：方案一：買一套西裝送一條領帶；方案二：西裝領帶均按定價打9折（兩種優惠方案不可同時采用）.某店老板要去廠里購買20套西裝和若干條領帶（超過20條），請幫店老板選擇一種較省錢的購買方案.

分析 因為已知條件中未明確購買領帶的數量，因而較省錢的購買方案也是不確定的，而是由不同的領帶購買數量決定的.

解 設店老板需購買領帶x條.

方案一購買需要付款

200×20+（x-20）×40=40x+3200（元），

方案二購買需要付款

（200×20+40x）×0.9=36x+3600（元）.

假設y=（40x+3200）-（36x+3600）=4x-400（元），

①當y>0時，即x>100， 方案二比方案一省錢；

②當y<0時，即20

③當y=0時，即x=100，方案一和方案二同樣省錢.

二、巧用轉化思想方法解數學問題

轉化思想方法是解數學問題中常用的思想方法之一，其實質是將復雜問題轉化為簡單問題、抽象問題轉化為具體問題、生疏問題轉化為熟悉問題，從而使問題得以快速求解.

1.未知問題與已知問題的轉化

在解數學問題過程中，將未知問題通過變形、轉化成學生熟悉的已知問題，運用已有知識進行求解，往往可以化難為易，化繁為簡，使問題很快迎刃而解.

例4 如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線AC、BD相交于O點，且AC⊥BD，AD=3，BC=5，求AC的長.

分析 此題根據梯形對角線互相垂直的特點，通過平移對角線將等腰梯形轉化為學生熟悉的直角三角形和平行四邊形，這樣學生自然就能輕松求解.

解 過D作DE∥AC交BC的延長線于點E，

則可得AD=CE，AC=DE，所以BE=BC+CE=8.

因為AC⊥BD，所以BD⊥DE，

在Rt△BDE中，BD2+DE2=BE2，

所以BD=22BE=42，即AC==42.

2.一般情況與特殊情況的轉化

一般問題與特殊問題的轉化是轉化思想較為常見的轉化方式，在解某些數學問題時，若用一般方法難以入手，這時可以從它的特殊情況出發，將一般問題轉化成特殊問題進行求解，這樣既可以使問題更加直觀簡單，又可以避免繁瑣的計算及推理，有助于學生解題速率的提高.

例5 如圖2所示，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC的長度.

分析 直角三角形是三角形中最為特殊，最簡單的情景，因此，我們可以通過構造Rt△解題是轉化中最為重要的方法，如圖過A點作AD⊥BC于D，此題便能輕松獲解.

3.數與形的轉化

數與形的轉化，即我們所說的數形結合.借助數與形的轉化將代數問題幾何化或幾何問題代數化，往往可以化抽象為直觀，從而達到事半功倍的效果.

例6 已知x，y，z，r均為正數：且x2+y2=z2，zx2-r2=x2，求證：xy=rz.

分析 觀察發現問題的題設與勾股定理的結構相似，可聯想轉化為構造直角三角形加以解決.

通過構造如圖Rt△ABC（如圖3），使得BC=x，AC=y，AB=z.

又因為有zx2-r2=x2，

則可以作CD⊥AB，于是BC2=BD·AB.

即有x2=zx2-CD2.

因為zx2-r2=x2，

所以CD=r，S△ABC=12xy=12rz，即xy=rz.

總之，初中數學解題中涉及到的數學思想方法較多，在平時教學中，教師要注意數學思想方法的有效滲透，引導學生掌握正確的數學思想方法，從而提高學生的數學解題能力.