巧借數學反例 強化概念認知

張敏娟

在數學發展史上，反例和證明同等重要.在教學中，恰當地引入精煉、典型、具有針對性的反例，可以幫助學生理解數學概念，突破教學重難點，提升數學思維，掌握和鞏固課堂知識.和正例相反，反例是指出某命題不成立的例子，引導學生去構造、辨析反例，可以幫助學生及時鞏固、消化和吸收數學知識，加深對知識的正確理解，避免在解題過程中因為對數學概念掌握得不全面、不深入而出現的這樣或那樣的錯誤，建立靈活的數學思維.在教學實踐中，筆者也將反例巧妙地融合到教學中，引導學生在歸納、提煉中深化概念本質，讓我們的數學課堂在對比、鑒別中別開生面.下面，筆者就結合教學實例，從破解概念誤區、突破概念難點、重組概念認知三方面探討小學數學教學中反例的運用策略，以供同行參考.

一、巧用反例，破解概念誤區

小學生的抽象思維能力還不夠成熟，在學習數學概念、定理、法則時，往往容易造成曲解，形成概念誤區.而反例的運用可以引導學生在比較、辨析中自主發現問題、糾正錯誤，正確全面地理解數學概念.在教學中，教師可以選擇典型直觀的教學反例，把學生忽略的數學概念的本質或是公式的適用范圍得到有力凸顯，以此來破解數學概念的誤區，對概念形成全面、正確、清晰的認識和理解.

例如在教學四年級《認識平行》中“平行線”這一概念時，總有部分學生對“在同一平面內永不相交”的含義理解不透，為此在教學中，我選擇了二種類型的反例來誘導學生的思維：

1.課件呈現生活中常見的上下交叉的立交橋，引導學生想一想：在立交橋上面行駛的汽車直線行駛的路線和在立交橋下面公路上行駛的汽車直線行駛的路線是平行線嗎？為什么？

2.出示圖片：

在圖③、圖④中，同一平面內的兩條直線不相交就表示一定平行嗎？為什么？

問題1意在通過學生生活中常見的生活現象，引導學生抓住橋上、橋下不在同一個平面內而認識到立交橋上和橋下的汽車行駛出來的直線不能算平行線.問題2的目的是要讓學生認識到在同一平面內所畫的即使是不相交的二段直線，在經過無限延長后也會出現相交的可能性.通過上述兩個問題，使學生認識到判斷兩條直線是否平行必需滿足在同一平面內和永不相交的兩個條件.可見，反例是破解概念誤區、強化正確認識的有力工具.以反例來強化數學概念，可以讓學生更加清晰數學概念的本質屬性和公式的適用范圍，彌補了正面教學的不足.

二、巧用反例，突破概念難點

由于年齡原因，小學生的數學思維存在一定的局限性，且受先前的活動和原有知識經驗的影響，容易被問題的表象所迷惑，產生消極的思維定勢，出現認知片面、概念認識模糊.而具有鮮明的直觀特性的反例，可以引起學生的注意，在正、反對比中撥亂反正，消除思維定勢，幫助學生突破概念難點，明晰概念的本質屬性.

以“乘法分配律”這一概念為例：（a+b）×c=ac+bc.可在實際運算中，總會發現學生存在這樣或那樣的錯誤，如：（a+b）×c=ac+b或（a+b）c=ac+c或（a+b）×c=ac×bc等.很顯然，是由于學生沒有把握乘法分配律的本質所在.為了幫助學生突破對規律本質的機械記憶，深刻理解概念本質，我特意設置了反例教學，呈現如下錯例，引導學生在找錯、辨錯中突破概念難點：

1. 28×101=28×（100+1）=28×100+1.

錯例的引入，意在強化學生對運算定律概念的理解，避免只記住了部分形式，導致的概念理解不透徹.

2. 65+35×18=（65+35）×18=100×18=1800.

錯例的引入，意在提醒學生不可受簡算意識的影響而急功近利，如果從一開始就懷著明顯的選擇性，就會忽視對運算對象的整體把握.

3. 52×99=52×（99+1）=52×100=5200

錯例的引入，意在指出學生不要受簡算意識的影響而產生一種條件反射，習慣將數字湊成整十、整百，在這樣的思維定勢的影響下盲目湊整只會造成解題出錯.

以上教學，教師特意設置的反例，可以激發學生的認知沖突，在找錯的過程中使學生意識到之前的片面認知，反思自己在解題過程中對規律運用的偏頗，消除思維定勢的消極作用，加深對數學概念、規律的認識和理解.

三、巧用反例，重獲概念認知

入選蘇教版小學數學教材中的范例大多是正面的，其編排的優勢是顯而易見的，卻也容易讓學生養成死套公式的習慣，造成思維的局限性.這種固化的問題解決模式，不利于學生思維的靈活性，常常在解題時產生錯誤.為此在教學中，教師可借用學生的現場錯誤，或者精挑細選出學生的典型錯題作為反例引入，容易引起學生的注意，幫助學生重組認知結構，突破知識負遷移.

例如在教學百分數時有這樣一道應用題：甲、乙兩車從A、B兩地相對而行，甲車需要3小時行完全程，乙車需要4小時行完全程，請問甲車的速度比乙車快多少？學生錯解：（4-3）÷4=0.25.針對學生在課堂上的錯誤解答，我順勢以此作為反例引導學生反思：你認為這樣的解答正確嗎？為什么？經過討論，學生認為題目中給出了甲、乙兩車行完全程的時間，要求的是甲車的速度比乙車快多少，因而就要求出甲、乙兩車的速度才能進行比較，這才是解決問題的關鍵.通過分析找錯，使學生再次認識到路程、時間和速度三者間的關系，深化對路程應用題的應用公式的認識.

可見，反例有鮮明的直觀特性，也容易被學生接受，當做一個有效的課堂案例，可以幫助學生突破原有的認知誤區，構建完全的認知體系.

綜上所述，反例是小學數學教學中強化概念的有力工具，具有簡明、直觀、說服力強的獨特優勢.在教學中，教師應選取具有精煉、典型、針對性強的反例引入課堂，以此豐富學生的數學認知，凸顯概念本質，促進學生對概念的深入理解，開辟數學領域的新天地.