中職數(shù)學(xué)實踐活動系統(tǒng)思考之淺談

劉傳富

“系統(tǒng)活動思考”源于彼得·圣吉所著的《第五項修煉——學(xué)習(xí)型組織的藝術(shù)與實務(wù)》，彼得·圣吉所說的第五項修煉指的就是系統(tǒng)思考，系統(tǒng)思考簡單的說，就是用系統(tǒng)的、整體的、全局的思維方式思考解決工作生活中遇到的問題.用“系統(tǒng)活動思考”的觀點審視中職數(shù)學(xué)教育面臨的現(xiàn)狀，可幫助我們認(rèn)清整個變化形態(tài)，“縱觀全局掌握重點”，通過對整體的合理把握，追求中職數(shù)學(xué)教育效益最大化.中職數(shù)學(xué)實踐活動系統(tǒng)思考是為培養(yǎng)學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)知識以及數(shù)學(xué)思想方法和應(yīng)用技能，打下良好的基礎(chǔ)；同時也為發(fā)展學(xué)生勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神作有益的嘗試.

活動內(nèi)容：意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)了這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.現(xiàn)以這組數(shù)中的各個數(shù)作為正方形的邊長構(gòu)造如下正方形：

再分別依次從左到右取2個、3個、4個、5…個正方形拼成如下矩形并記為①、②、③、④…相應(yīng)矩形的周長如表1所示.

若按此規(guī)律繼續(xù)作矩形，則序號為⑩的矩形周長是________________________________________.

評析 首先由該組數(shù)的規(guī)律我們可以寫出它的前11個數(shù)為1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89，再由構(gòu)造矩形的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)序號為⑩的矩形右邊是邊長為89的正方形，而整個矩形的長為55+89=144，寬為89，故其周長為2（144+89）=466.

斐波那契發(fā)現(xiàn)的這組數(shù)，前兩項都為1，從第三項起，每一項都是前兩項之和，這個數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.通項公式是

Fn=15[（1+52）n-（1-52）n]

（又叫“比內(nèi)公式”，是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例）.比較有趣的是：一個完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項公式竟然是用無理數(shù)表示的.斐波那契數(shù)列又稱為“兔子數(shù)列”，是因為斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的.兔子在出生兩月以后，就會有繁殖能力，正常情況下一對兔子每個月就會生一對兔子，假設(shè)沒有兔子死亡，那么一對新出生的小兔子一年以后可以變成多少對兔子？分析如下.第一個月沒有繁殖，就是一對兔子.第二個月則生下一對，總共就是兩對.三個月后，老兔子又生一對，小兔子沒有繁殖，就是三對.四月后，老兔子生一對，小兔子生一對，那一共就是五對.以此類推得出一組數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…此數(shù)列很明顯，那就是前面相鄰兩項和，構(gòu)成了第三項.

斐波那契數(shù)列在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用也很廣泛.

例1 有一段樓梯有10級臺階，規(guī)定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法？這就是一個斐波那契數(shù)列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法…，得1，2，3，5，8，13，21，…所以，登上10級臺階總共有89種登法.問題拓展：如果規(guī)定每一步只能跨一級或兩級或三級，那么答案又是多少呢？類似于上面分析：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有四種登法；登上四級臺階，有七種登法…，得1，2，4，7，13，24，44，81，149，274，…從第四個數(shù)開始，每個數(shù)都等于它前面三個數(shù)的和.所以，登上10級臺階總共有274種登法.

變式一 一只青蛙從寬5米的水田的一邊要跳往另一邊，它每次只能跳0.5米，或1米，這只青蛙跳過水田共有多少種不同的方法？ （共有89種）

變式二 有一堆火柴共12根，如果規(guī)定每次取1～3根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法？（共有927種）

例2 三角形的三邊關(guān)系定理和斐波那契數(shù)列的一個聯(lián)系.現(xiàn)有長為144 cm的鐵絲，要截成n小段（n>2），每段的長度不小于1 cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為________________________________________.

分析 由于形成三角形的充要條件是任何兩邊之和大于第三邊，因此不構(gòu)成三角形的條件就是任意兩邊之和不超過最大邊.截成的鐵絲最小為1，因此可以放2個1，第三條線段就是2（為了使得n最大，因此要使剩下來的鐵絲盡可能長，因此每一條線段總是前面的相鄰2段之和），依次為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各數(shù)之和為143，與144相差1，因此可以取最后一段為56，這時n達(dá)到最大為10.我們看到，“每段的長度不小于1”這個條件起了控制全局的作用，正是這個最小數(shù)1產(chǎn)生了斐波那契數(shù)列，如果把1換成其他數(shù)，遞推關(guān)系保留了，但這個數(shù)列消失了.這里，三角形的三邊關(guān)系定理和斐波那契數(shù)列發(fā)生了一個聯(lián)系.

斐波那契數(shù)列不僅應(yīng)用廣泛，而且還有很多奇妙有趣的屬性：如屬性1.與黃金分割的關(guān)系：當(dāng)n趨向于無窮大時，后一項與前一項的比值越來越逼近1.618.前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割0.618，所以極限是黃金分割比..屬性2. 連續(xù)10個斐波那契數(shù)之和等于第7個數(shù)的11倍.屬性3.任意兩個連續(xù)的斐波那契數(shù)的平方和還是一個斐波那契數(shù).屬性4.從第二項開始，每個序號為奇數(shù)的項的平方都比前后兩項之積多1，每個序號為偶數(shù)的項的平方都比前后兩項之積少1. 如：第二項1的平方比它的前一項1和它的后一項2的積2少1，第三項2的平方比它的前一項1和它的后一項3的積3多1.

“系統(tǒng)活動思考是一扇重新看世界的窗”， 用“系統(tǒng)活動思考”的觀點檢視、分析當(dāng)前中職數(shù)學(xué)教育過程中面臨的困難與問題，謀劃中職數(shù)學(xué)教學(xué)改革，能使我們在現(xiàn)代職教體系中準(zhǔn)確定位，從而使中職數(shù)學(xué)教育在“山重水復(fù)”中“柳暗花明”.