數學課堂要以發展學生思維為核心

李大永

自20世紀80年代開始，我國數學課堂教學改革一直持續至今。這期間，各種教學法的實驗研究如火如荼，各種新的數學教學方法和教學模式層出不窮，也引發了一波又一波的學習熱潮。這些教學方式與模式改革，多發源于國內優秀教師的教學經驗或課堂教學研究項目與成果的推廣。21世紀初，這一熱潮又體現為新涌現出的部分“熱點”地區或特定“明星”學校的課堂教學改革，近期又呈現出西學（如“翻轉課堂”“MOOC”）等特點。在各種教學方式與模式學習的潮起潮落中，有一種共同現象，就是比較關注課堂教學實施的具體環節或實施方式、使用媒介與實施步驟的效仿，但是缺少對“為什么要這樣做”的追問、研究與考證，這使得教學模式往往流于形式。作為教師，我們該如何面對花樣翻新的教學模式？

筆者認為，教師必須自問：“我究竟在為什么而教？”或者說“數學教育的核心價值在哪？”對于這個問題的思考，實質上就是一個審視自己數學教學觀的過程。從大量的聽課、評課、組織教研以及8年的國培經歷中，筆者認為，一位教師在課堂上的教學行為，處處都能體現出教師所持的教學觀（數學教學價值）和數學觀（數學理解）。同一類教學行為（哪怕都是講授），不同教師實施，教學效果大不相同。也就是說，真正的教學效果取決于教師的教學觀和數學觀，而不是表面的教學行為。因此，課堂教學的問題并不能靠某一種教學方式或模式來解決，而需要用一個具有高度凝聚性的核心教育目標來指引教師的教學實踐。

本文將結合案例，闡述如下觀點：教師需要以“發展學生的數學思維”為核心去構建課堂的教與學。而達成這一目標的唯一有效途徑，就是在日常教學工作中，以“發展學生的數學思維”為目標，設計實施教學、反思評價教學、改進后再教學，在這樣的過程中不斷地進行理論的實踐性解讀和實踐的理論性反思。

一、熱鬧的活動背后，數學思維有幾成

1.案例呈現

筆者曾看到一篇名為“以學生為本是數學課堂教學設計的出發點──《正弦定理的引入、探索、發現與證明》教學案例”，該案例展示了正弦定理的探索與發現活動，如下。

活動1 讓學生觀察并測量一個三角板的邊長，例如，量得三角板三內角所對的三邊長分別約為5cm，8.6cm，10cm。

提出問題：你能發現三邊長與其對角的正弦值之比之間的關系嗎？

活動2 （在任意的直角三角形中探討）在Rt△ABC中，你能否發現類似的結論？

提出問題：上述規律對任意三角形成立嗎？

活動3 二人合作，先在紙上作一個任意銳角（或鈍角）三角形，測量三邊長及其三個對角，然后用計算器計算每一邊與其對角正弦值的比，填入下面表中，驗證前面得出的結論是否正確。（其中，角精確到分，邊精確到0.1cm，結果保留3位有效數字）

2.活動背后的數學思維分析

由案例展示的上述活動，我們可以想象到，課堂不乏熱鬧，學生一直處于活動之中，而且持續的時間也不會太短。但是，從發展學生數學思維這一角度來看，三個活動都缺少高水平的數學思維活動。活動1中，學生只是被動完成量一量、算一算的指令，對于算出來的結果，發現三個比值相等，對發展數學思維來講沒什么積極意義。活動2中，學生需要的是回憶再現直角三角形的三角函數定義，實施檢驗是低水平的判斷。活動3中，學生仍是量一量、算一算，唯一的潛在價值是基于檢驗結論的目標，畫三角形時，對形狀的選擇是有一點思維價值的，但是教師卻并未對此設問。

實際上，教學設計的出發點，不應該是追求活動、小組合作等形式，而是應挖掘所學內容對促進學生數學思維發展的價值，活動是為實現這一目標服務的，不能本末倒置。顯然，如果教師自身不能深諳數學思維的規律，不能在備課中努力挖掘、還原數學內容背后的思維活動，發展學生的數學思維就無從談起。

二、如何感悟和認識數學思維的規律

實際上，每個學科都有特定的認識世界的思維框架，這一思維框架集中體現了一定的認識取向或價值觀念與方法。比如，我們應當關注事物與現象的哪些方面？我們應如何去發現問題，并對此作出恰當的問題表述？我們又應如何去分析問題和解決問題（包括究竟什么可以被看成問題的適當解決方法）？

1.從數學發展史看數學思維的基本特征

數學史是一個感悟數學思維規律和特征的重要途徑。從數學發展史可以發現，數學家在解決生產和科學技術提出的新問題過程中， 首先是抽象概括其中的量化模式，形成數學問題，通過試探或試驗，發現或創造出解決新問題的具體方法，歸納或概括出新的公式、概念和原理，而這些新的公式、概念和原理必須通過邏輯推理來獲得確認。當新的數學問題積累到一定程度后，便形成了數學研究的新問題（對象） 類或新領域，產生解決這類新問題的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成了一套理論知識，就標志著一門新的數學分支學科的產生，例如，微積分、群論等。而數學理論通過數學模型又和現實世界建立了聯系，使得數學理論可以應用于現實世界中去幫助人們解決廣泛的問題。

從上述數學認識活動的一般過程可以看到，數學家總是不滿足于個別問題的結果或結論的獲得，而總是希望獲得更深刻的理解。后者直接導致對于嚴格的邏輯證明的尋求，而且促使數學家積極地去從事進一步的研究。如在有些看上去并無聯系的事實背后是否隱藏著某種普遍的理論？這一事實能否被納入到某一統一的數學結構中？他們總是希望能達到更大的簡潔性和精致性，如，是否存在更為簡單的證明？是否對相應的表達方式作出適當的改進？這也就充分體現出了數學思維的一些基本特征。

2.在教學工作中，要多問幾個為什么

時時思考和自問是深刻領悟數學思維的重要途徑，教師的專業素養恰恰是在對這些問題的不斷拷問與探尋中獲得發展的。例如，在數學中為什么要給出這一數學概念（公式、定理）？為什么要采用這樣的方式來對其進行定義（表達）？這個概念（公式、定理）背后蘊含了怎樣的思維方式？它與之前和之后的哪些內容有關聯？這種關聯背后又蘊含了怎樣的一致性或不同的思維模式？等等。

以前面的正弦定理教學為例，對解三角形這一主題，教師應在備課時弄清楚以下幾個基本問題：解三角形這一章研究的基本問題是什么？這個問題是如何被發現和提出的？它與之前的哪些內容有關聯？這種關聯背后蘊含著怎樣的一致性或不同的思維模式？

解三角形這一章的基本問題就是三角形的邊、角要素之間存在怎樣的量化模式。通過以前對三角形相關知識的學習，已經獲得了部分解答，如內角和為180。、任意兩邊之和大于第三邊、大邊對大角，還有特殊三角形——直角三角形三邊關系。此外，兩個三角形關系的研究，如兩三角形的全等條件也從側面告訴我們，確定三角形并不需要給出六個要素，只要知道其中部分要素即可。也就是說，在初中階段，學生就已經認識到了邊角邊、邊邊邊、角邊角等條件可以確定一個三角形形狀與大小了，既然如此，這種部分要素確定了整體的現象預示著什么呢？這說明背后一定存在著還未發現的三角形邊角數量模式，三角形的正、余弦定理實際上是對三角形的邊角數量模式的表達。實際上，從研究三角形開始，我們就一直在試圖發現三角形這一幾何圖形背后所隱藏的邊角模式，只不過早期比較偏重直觀感知、動手操作、實驗猜想，而后來更突出合情合理的猜想與思辨論證。

從上述問題的思考，可以發現，前面所呈現的案例中，教師的學習活動并沒有起到引領學生認識研究三角形的一般思維路徑的作用。

3.從新異問題的研究中體驗數學思維發展的過程

教師由于長時間接觸常規數學問題，因此，在面對試題時，很難體會一個原生態的思維過程，解題思路烙下了深深的記憶印記，這就會使解題教學不自覺地淪落為解釋如何操做，而難以呈現原生態（處于學生思維水平下的）的思維過程，講不出解題思路。

所以，解決新異問題，使自己陷入一種沒有現成模式可以套用的思維困境之下，嘗試各種方法探尋解題思路的努力之下，去感知數學思維是如何發生和發展的，由思維的混沌狀態經歷了怎樣的思維過程，使思維逐漸走向清晰和明朗是非常重要的。在教師培訓中，這一辦法有助于教師更深刻理解思維的過程是怎樣的。

新異問題，一方面可以從試題中尋找，例如，每年北京的理科卷20題，往往是比較新穎的題目，建議不要當成一道試題去做，而要去探索、研究，發現題干所定義的數學對象都有哪些特性。另一方面，可以從生活中或其他學科的問題中尋找，例如，中國象棋中的“馬”走的是“日”字格的對角線，馬從棋盤的任何一個位置，按照馬的走棋規則，可否走遍每一個位置（格點）呢？

三、如何在數學課堂上發展學生思維

通過前面的正弦定理的案例，我們看到，不是所有與數學相關的活動都是有價值的活動，我們需要弄清楚數學活動的內涵與基本形式，尤其是能夠促進學生數學思維發展的數學活動的特征，因為，能夠促進學生數學思維發展的數學活動才是構建課堂的教與學的關鍵。

1.理解數學活動的內涵與基本形式

前蘇聯數學教育家斯托利亞爾提出，數學教學實際上是數學活動的教學，數學活動是具有一定結構（帶有數學特點）的思維活動。[1]他認為，可以將數學活動看作按下述模式進行的思維活動：首先是經驗材料的數學組織化；其次是第一階段活動結果中積累的數學材料的邏輯組織化；最后是第二階段活動的結果中建立的數學理論的應用。

數學活動有兩個基本形式：一是數學概念的生成、分析與組織；二是數學的提出、分析與解決問題。而這兩種基本形式，在數學活動的組織方式上又可以統一到數學的發現、提出、分析與解決問題這一形式上來。

例如，函數單調性概念的形成過程，可以由不滿足于初中階段在描點畫圖基礎上獲得的直觀感知認識，而在尋求更深刻的理解過程中去發現問題。一方面，我們根本畫不出所有的點，對于所畫的相鄰兩個點之間的圖像，我們并不知道實際上是什么樣子，因此，無從通過看來判斷函數的單調性；另一方面，我們所看到的圖像實際上只是數學中的對象——函數圖像的示意圖，并非函數的實際圖像（函數解析式確定的點集），因為，數學中的點是沒有大小的，線是沒有粗細的，在現實中根本不可能畫出來，所以，我們看到的只是虛幻的，這當然不足以說明函數的單調性。發現這一矛盾后，我們就產生了進一步清晰刻畫函數單調性的實際需求，在這種需求下，我們必須將函數單調性的幾何直觀用量化的手段，借助代數的符號語言來進行刻畫，這一問題解決的結果，自然就表現為得到了函數單調性的概念及其定義。

2.理解能夠促進學生數學思維發展的數學活動的特征

從上述單調性概念教學案例可以看出，能夠促進學生數學思維發展的數學活動，應該是一個能夠帶給學生理智挑戰、認知沖突和精神享受的活動。在這樣的活動中，學生需要不屈不撓地深入思考，將學生頭腦中的問題數學化，需要同學間的相互交流與討論，需要論據明確、條理清楚地進行闡述。通過這樣的數學活動，使學生能夠學會解決問題、應對困難，從而積累數學活動經驗，感悟數學思想。

根據上述能夠促進學生數學思維發展的數學活動的特征，對正弦定理的教學，所設計的數學活動應該有助于學生從已習得的相關結論中發現需要進一步研究的問題，并在已有知識的基礎上，通過設法建立已知邊角數量與未知邊角數量之間的聯系，自主探索解決這一問題。在這樣的思維活動定位下，本案例的數學活動可設計如下。

活動1 對于三角形，大家并不陌生，與同桌交流并寫出已經學習的與三角形相關的結論。

活動2 請與同桌討論：關于三角形，是否還存在有待進一步研究的問題？

活動3 請各自選擇一組可確定三角形的邊角條件，探索如何用已知邊角數量求出其他未知的邊角數量。

3.要始終以促進學生的數學思維發展為標尺

教學是實踐的智慧，教師要讓自己的課堂能夠更好地促進學生思維發展，就要始終如一地以發展學生的數學思維為標尺。備課時，用這個標尺來衡量自己對教學內容的理解，就會促使自己思考探尋每一個教學內容背后的數學思維過程與價值，促使教師自我察覺活動設計得是否合理。教學時，用這個標尺來要求，就會促使教師有意識地去聆聽學生的想法，從中分析了解學生的思維過程，從而給出恰當的幫助。課后，用這個標尺來反思評價自己的課堂教學，就能不斷從中獲得教學中的得與失，為以后的數學活動的組織與實施積累經驗。

參考文獻：

[1] A·A斯托利亞爾，數學教育[M] .北京：人民教育出版社，1984.

（作者單位：北京市海淀區教師進修學校）

責任編輯：趙彩俠

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