數學中的向量與物理中的矢量

張偉 朱曉安

學生的學習和思考從生活中的實例和現象開始，這是深度學習的起點之一，學生遇到的任何一個問題都不是孤立的，不同的學科會從不同的角度進行研究，體現出不同學科的特點和本質。學科教學設置了明確的學科邊界，經常將學生原本整體的認知割裂開來，穿越學科邊界進行設計課程，回歸學生對問題本質的理解，通過跨學科的知識解決問題，我們在高中數學“平面向量”的教學中進行了嘗試。

進行學科穿越的課程設計首先要明確學科間聯系的本質。數學是研究空間形式和數量關系的科學，數學對象既有代數的特性，又有幾何的特性，平面向量也具備這兩種特性，它是近代數學中重要和基本的數學概念之一，是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，在物理中有廣泛的應用，有極其豐富的實際背景。物理中的力、速度、加速度、位移都是矢量，在數學學科中抽象成自由向量，矢量和向量都是既有大小又有方向的量，是同一性質的量在不同學科中的描述。有大量的物理問題或現象能夠抽象成相應的數學問題，數學問題對應的數學本質研究會促進相應物理問題的解決。結合高中物理必修1和必修2中的物理問題，總結出數學和物理學科聯系的內容（見表1）。

學科穿越的邊界在哪里？這需要從學科的界定談起。物理中的矢量除了有大小和方向要素外，還有作用點，每個矢量有其物理意義，而在數學學科向量只有大小和方向的要素，是在矢量基礎上的進一步抽象。實驗能力是物理學科的重要能力之一，在高中物理必修1教材中通過實驗探究求合力的方法得到矢量求和的平行四邊形定則，進而應用這一法則解決問題，運算求解是數學學科的重要能力之一，數學中平面向量的加法運算是借助物理學科的位移求和問題進行定義，然后研究向量加法的符號表示、運算律及其坐標運算，突出運算的特性。不同的學科對同一對象的研究關注點不同，與學科能力的培養有密切關系。學生在遇到問題的時候，需要明確不同學科的邊界，又要綜合運用不同的學科能力解決問題。

物理教師積累的學生測試數據顯示：學生對于物理問題，能從實際問題當中抽象模型的占11%，熟練掌握矢量的表示方式與運算方法的占14%，理解并能運用力的運動關系的物理思想的占29%，能對結果進行正確討論的占17%，從這些數據可以看出，學生將實際的物理問題抽象成數學模型的能力欠缺，應用數學進行運算的意識比較薄弱，在物理學科中只用物理方法來解物理題，在數學學科中只用數學方法來做數學題，孤立的、割裂的學習使得學生在面對實際問題的時候不能綜合分析，整體認知，所以在平面向量教學中，我們通過設計盡量來改善這個問題。

我們將單元設計的主題選定為：數學中的向量與物理中的矢量。單元目標的設計也突出學科間的穿越，例如：學生通過抽象引體向上運動，分析理解向量的基本概念和基本運算；學生更新已有初中時對功的公式的認識，通過功的背景來理解向量的數量積運算，用函數的思想來研究功與力和位移的關系，探究向量與數量的關系；學習平面向量數量積以后，學生通過功的專題學習來整理總結學習收獲等。這些目標的設計從真實的問題出發，結合學生已有的認知水平，需要經歷分析問題—抽象概念—探究方法和策略—體會學科思想—解決實際問題的過程，這個過程中既有物理學科的知識和方法，也有數學學科的思想和方法，二者交融在一起。

學科穿越的設計要以學生現有的學科認知為基礎。平面向量單元的概念較多，核心概念是向量，它的兩個要素是大小和方向，需要在向量概念的基礎上繼續抽象相關的概念。為了整合學生在物理學習中已有的知識和經驗，實現數學課的進一步抽象和運算，我們在課程設計的時候設計學生熟悉的物理情境：在單杠上做引體向上，兩臂的夾角越小越省力。你能從數學的角度解釋這種現象嗎？

Q1.用圖和式表示題目中的量及其關系。

Q2.用什么數學方法解釋現象？

Q3.問題中的量與數量有什么不同？

Q4.向量的定義和表示方法。

Q5.舉例說明你學習過的向量有哪些？

Q6.你能發現問題中的向量之間有哪些關系？

Q7.分別從大小和方向兩個角度說明問題中特殊的向量有哪些？

Q8.如何計算做一次引體向上需要消耗的能量？

Q9.物理中的平行四邊形法則和數學中向量的加法有什么關系？

Q10.平面向量的代數形式是什么？

在物理情境的引導下，學生能夠自發地提出上述的一些問題。學生提問題的過程就是參與思考、進行數學抽象的過程。與以往的概念和運算學習相比，學生對概念抽象的意義理解更深刻，對概念的本質把握更準確，在經歷了充分地分析和抽象以后，學生不僅能夠自主地建構平面向量的概念網，而且也體驗了將知識應用于生活的過程。

要通過穿越學科的邊界來看問題的本質，比如，物理學科中矢量的分解問題，對應到數學內容上是平面向量基本定理，體現出數學學科基本量的思想，即要用平面內基本的量來表示平面內的任意一個向量。這個內容在物理學科中有相應的體現，如圖2所示。

圖2

這個問題的實質就是平面向量基本定理的應用，需要學生結合知識進行物理現象的想象并用運動軌跡呈現出來。在平面向量基本定理教學的時候，可以從基本的物理問題出發進行探究：任何一個力都可以沿著兩個方向進行分解嗎？如果能，說明怎么分解，如果不能，說明理由。需要學生將這個問題用數學語言進行描述，應用已有的向量加法法則進行探究，最后給出嚴格的數學證明，是物理實驗結果的抽象化和邏輯化的提升。怎么讓學生體會平面向量基本定理中蘊含的基本量的思想？我們設計了圖3的例題。

圖3

這個例題的設計，教師關注三個方面的內容：（1）在同一基底下表示不同的向量；（2）在不同的基底下來表示同一個向量；（3）比較選取不同基底的優劣，突出對數學思想的體驗過程。

評估也能夠體現出穿越學科邊界學習的意義。作為數學學習的一種評估，我們設計應用數學方法來解決的物理問題，比如說這樣的一個問題：如圖4所示，電線AB下有一盞電燈，用繩子BC將其拉離墻壁。在保證電線AB與豎直墻壁間的夾角θ不變的情況下，使繩子BC由水平方向逐漸向上轉動，則繩子BC中的拉力的變化情況是（）

A. 逐漸增大

B. 逐漸減小

C. 先增大，后減小

D. 先減小，后增大

這一問題的解決對學生來講有一定難度，對于物理中的三個矢量來說，其中一個矢量始終是不變的，另外一個矢量是方向不變，第三個矢量是大小和方向都在變，這是從變化的角度來分析物理中矢量的變化。那么構建數學模型以后，學生就需要應用學習的向量加法的三角形法則進行分析，對矢量進行平移，平移以后已經不是具有物理意義的矢量了，而是應用數學中向量的三角形法則，還可以進一步應用函數的模型解決，應用數學知識解決物理問題也是物理學科中重要的能力之一。

在學科穿越的過程當中，怎么能夠體現學科的本質？需要從學科素養的培養角度審視我們的設計。數學建模是數學學科重要的學科素養，目前學生在這方面相對較弱，我們設計了“功”的主題研究，讓學生從學科發展和學科融合的方面進行知識和方法的總結，體會數學和物理學科的相互融合和相互促進，形成學科思想指導下的認知整體。

圖5 數學思想統領學科穿越

數學學科和物理學科的關系非常緊密，比如學生接觸到的物理公式與數學學科的函數模型是對應的，都體現了變量和對應思想，物理學科中有簡諧振動、勻速圓周運動，怎么來刻畫這些物理現象，三角函數是必要的形式……學生對問題的認知是一個整體，打破學科邊界對學生能力培養的束縛，還要突出學科的本質，對教師的課程觀和課程建構能力都是很大的挑戰，我們愿意進行嘗試和改進，深度學習，從認識學生學習開始。

課題合作者：曾輝、張國宏、?；菝?/p>

（作者單位：北京市海淀區教師進修學校附屬實驗學校）

責任編輯：任媛媛

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