比定義更重要的是什么

趙紅婷

前段時間，筆者有幸聆聽蔡宏圣老師執教蘇教版五下“認識方程”一課。蔡老師指出：“方程的定義不等于方程。”那么，對方程而言，定義是最重要的嗎？比定義更重要的是什么？是對數學的感覺，還是對數學的理解和感悟？筆者思考教師不能僅僅滿足于讓學生根據方程外在形式定義去辨別方程，應引導學生從更深層次認識方程。

一、尋找感覺：用數學的眼光去觀察

有時，學生知道某一概念，卻未必真的對其有感覺。而學生一旦對所學概念有了感覺，認知水平就會達到較高層次。蔡老師認為，對于“先學后教”的課，教師需要有這樣的警惕：學生貌似懂了，可能只是淺層次的懂，未必真正理解概念含義。整節課，他始終鼓勵學生用數學眼光去觀察、審視，尋找對方程的獨特感覺。

【教學片段1】

師：什么是方程？

生：含有未知數的等式是方程。（教師板書）

師：怎樣的等式是方程，你能舉個例子嗎？

生：x+50=200，2x=200。

師：判斷是否是方程，要抓住什么？

生：要看是不是有未知數，是不是等式。

師：一年級學過這樣的算式（ ）×3=12，這個是方程嗎？理由是什么？

生：是的，理由是它有未知數，而且還是等式。

師：怪不得你們都懂了，原來你們一年級就接觸了！

師：請看，y×4=8是方程嗎？

生：是方程。

師：再看，x×3>50是方程嗎？

生：不是方程，因為它不是等式。

【賞析】對于方程，學生會有怎樣的感覺？顯然，對數學的感覺主要基于經驗。關于方程，學生并非一張白紙，他們有朦朧的感覺，教學的目的在于激發和提升這種感覺和體驗。蔡老師的處理可謂與眾不同。課伊始，他就單刀直入，讓學生試著說出方程概念。學生正確表述后，蔡老師再讓學生舉出方程的例子。蔡老師還令學生說出判斷方程的依據。然后蔡老師呈現了一年級填括號的例子，以及一些含有未知數的式子，讓學生用數學眼光去觀察和判斷。豐富的例子，豐厚了學生對方程的體驗。

二、簡化形式：用數學的語言去記錄

抽象、去情境是數學的本質特征。從某種意義上說，學習數學就是一個不斷追求簡潔的過程。方程并非憑空出現，它是一些生活情境的數學化表達。方程是用數學的方式，即用數、符號等，來記錄事情。用數學語言去記錄生活中相等的事例，凸顯方程的本質。

【教學片段2】

出示天平圖：左邊是一粒橙子和一個50克的砝碼，右邊是150克的砝碼。

師：你能說出這幅天平圖的意思嗎？

生：x+50=150。

師：看起來是一粒橙子加上50克等于150克，你們把它簡化了，變成了什么？

生：x+50=150。

教師故意用文字寫出題意：一粒橙子加上50克等于150克。

師：老師寫了那么多文字，跟你們寫的式子，有什么區別？

生：我們把橙子設為x。

生：我們用上了等于號，就是符號。

師：還用上了什么？

生：還用了數。

師：你們用數學語言寫下來，就成了方程。方程是怎么來的？

生：是把我們的語言描述表達成了數學算式。

生：把一些未知數轉化成了字母。

生：它是兩邊相等的。

師：不同的人看周圍世界是不一樣的，用數學的眼光去看，用數學的語言記錄下來，方程就是其中之一。不同年齡可以寫出不同樣子的方程。

【賞析】僅用語言描述，可以把方程問題闡述清楚，但邏輯上容易出現混淆，而用數學符號來闡述就顯得清晰易懂。史寧中教授指出，教學方程時，可先讓學生用自然語言闡述事情，然后抽象成數學表達，最后用數學符號建立方程，并解決問題。事實上，強調用數學符號把要說的話（即兩件等價事情）表達出來，這是方程的根本，是學生必須真正掌握的東西。蔡老師對此深有體會，出示情境后，通過文字描述和符號描述的對比，學生感受到了數學符號表達的簡潔性。對學生而言，方程并不陌生，一年級的填括號（方格）開始，方程就一直在那里，只不過，隨著抽象思維的發展，對方程表述的形式化程度愈高，表達方式也越有數學味。

三、凸顯本質：用數學的思維去感悟

學習方程的意義在于：一是學習從生活中的錯綜復雜的事情中，將最本質的東西抽象出來，這個過程是非常難的，也很有訓練的價值；二是在運算中遵循最佳的途徑，將復雜的問題簡單化，這種優化思想對于人的思維習慣的影響是深遠的。

【教學片段3】

教師出示四個情境問題。

第1題：天平左邊是3粒橘子，右邊是180克砝碼，天平向左傾斜。

第2題：天平左邊是250克砝碼，右邊是一粒橘子和一粒蘋果，天平平衡。

第3題：5個小杯和1個容量為300毫升的大杯合起來一共是800毫升。

第4題：一輛公共汽車上，原有乘客50名，中途又有12名乘客上車，現在車上共62名乘客。

師：你能看到方程嗎？

生：題1不是方程，因為它是3x>180，不是等式。

生：題2是方程，x+y=250。

師：題3沒天平，能寫成方程嗎？

生：方程是800-300=5x，要找出等量關系，才能寫出算式。

師：是的，就像題1，沒有等量關系，就沒有等式。要找等量關系，就是找誰和誰是相等的。

師：題3還可以寫成怎樣的方程？

生：800-5x=300。

師：含有未知數就是未知數與數一起干活，形成等式，這才是我們要的方程。我們應該寫怎樣的方程？

生：應該把數和未知數寫在一起。

師：不要寫成以前算式的樣子。

師：第4個問題是方程嗎？為什么？

生：不是方程，因為沒有未知數。

師：對，雖然有相等關系，但沒有未知數，所以不能寫出方程。

出示方程史話《為什么有方程》。

早在三千六百多年前，埃及人就會用方程來解決數學問題了。在我國古代，大約兩千多年前成書的《九章算術》中，就記載了用一次方程解決實際問題的史料。一直到三百多年前，法國的數學家笛卡爾第一次倡議用x、y、z等字母來代表未知數，才形成了現在的方程。

【賞析】方程闡述了一個事實本身，一個沒有經過任何加工的事實本身，方程說明兩件事情是等價的，這正體現了建模思想。認識方程，應引導學生關注數量關系，體會方程的高度概括性和抽象性。就如4x=400這個方程可以記錄的事件很多，但這些不同的事件卻都可以用同一個方程來表示，正是因為不論是哪種事件，它們本質的數量關系是相同的。教師為學生打開了代數這一新視野，在代數世界里，未知數獲得了與已知數一樣的地位，可以平等地參與運算。這是方程的基本特質，也是學習方程的價值所在。

比定義更重要的是對數學的理解和感悟，是數學思維的應用和強化。學會抽象和概括，摒棄與數學無關的外在屬性，只關注數學的本質屬性，增強做事的運籌和邏輯的條理，這種數學思維的訓練，這一數學素養的形成，對學生成為一個合格公民、適應日常生活以及進一步學習數學，都是至關重要的。

（作者單位：江蘇省張家港市泗港小學 責任編輯：王彬）