以學定教，促進數學思維成長

武國芬

【教學內容】

人教版數學五年級上冊第87至90頁。

【教學目標】

1. 探索并掌握平行四邊形的面積公式，并能應用公式解決簡單的實際問題。

2. 引領學生經歷和體驗用“剪拼法”探究平行四邊形面積的過程，感受“等積變形”的思想方法，體會轉化思想的價值。

3. 培養學生應用已有知識解決新問題的能力，發展學生的空間觀念和初步的推理能力。

【教學重點】

探索并掌握平行四邊形面積的計算公式。

【教學難點】

理解平行四邊形面積計算公式的推導過程，感受轉化的數學思想。

【教學過程】

一、情境導入，搭建聯系

1. 課件出示學校門前的兩個花壇，一個長方形，一個平行四邊形，讓學生觀察哪一個大，并想一想怎樣解決這個問題。

2. 課件呈現由花壇抽象出的平行四邊形和長方形，長方形長6米，寬4米；平行四邊形底6米，高4米，另一邊5米。

提問：我們知道長方形的面積是長乘寬，那平行四邊形的面積可能會怎樣計算呢？

提出猜想：平行四邊形的面積可能是底乘高6×4，或兩條鄰邊相乘6×5。到底哪種方法是正確的？

揭示課題：今天我們就來研究“平行四邊形的面積”計算。（板書課題）

【設計意圖】把學習的內容與學生生活實際、已有的知識聯系起來，基于學生學習經驗引發計算面積的猜想，順應學生思維發展進程，符合學生的認知規律。

二、經歷過程，探究方法

1. 巧數方格，驗證猜想。

啟發引導：要知道它的面積到底是多少，有一種最原始但也是最有效的方法。

教師課件呈現方格圖，然后移入平行四邊形。

學生利用平行四邊形紙和方格紙，獨立數方格。

反饋交流，教師利用課件的交互性將學生的數法加以動態演示：①直接數法，先數整格，再數半格；②變形數法1，每行中不夠整格的拼成夠整格再數；③變形數法2，將左邊的三角形整體移到右邊，由原來的平行四邊形變成長方形（在數學上我們把它叫轉化）。

這幾種數法都說明：1. 用底乘高的方法可能是對的，用兩個鄰邊相乘的方法是錯誤的。2. 變形前后兩個圖形的面積相等。

【設計意圖】以學定教，數格子的方法關注了學生學習經驗的前后銜接。“剪拼法”是探究平行四邊形面積計算的一種方法，但為什么要用“剪拼法”，怎樣讓學生在探究的過程中能主動想到這種方法并認同？變形數的過程是“剪拼法”的滲透，課件將學生的數法動態演示，更直觀地展示出了變化前后兩個圖形之間的關系，促進學生的思維發展，為下一步轉化方法的運用作了鋪墊。

2. 動手操作，探究規律。

啟發思考：平行四邊形的面積用“底乘高”來計算有什么道理呢？

把平行四邊形轉化成長方形后，圖形的什么變了，什么沒變？變化前后兩個圖形之間有什么聯系？請大家帶著以上問題一邊觀察一邊思考，從學具袋中任選一個平行四邊形：可以畫一畫，剪一剪，拼一拼。（課件出示操作提示）

（1）將平行四邊形沿（ ）剪開，把三角形向右平移，可以轉化為（ ）形。

（2）拼成的長方形的面積與原來的平行四邊形面積（ ）。平行四邊形的底和長方形的（ ）相等，平行四邊形的（ ）和長方形的（ ）相等。

學生邊展示邊敘述。

教師利用課件演示“剪→平移→拼”的過程，得出：平行四邊形的面積=底×高，S=ah。

歸納總結：今天我們研究平行四邊形的面積，把未知的圖形轉化成了已知的圖形從而解決問題，這種研究問題的方法叫“轉化”法，是學習數學的一種重要方法。

3. 方法多樣，拓展思維。

啟發思考：還有其他轉化方法嗎？你能找到它與原來平行四邊形之間的關系，推導出面積的計算公式嗎？預設如下：

【設計意圖】方法多樣化，讓學生充分經歷數學學習的過程，注重數學的理性分析，發展學生的思維能力，凸顯數學思想的魅力。

4. 對比辨析，深化理解。

啟發引導：我們探究出了平行四邊形的面積計算用底乘高的道理，那為什么用鄰邊相乘就不對呢？

課件呈現將平行四邊形框架拉成長方形的過程（圖3），讓學生直觀觀察到這樣的拉動變形之后，平行四邊形的面積發生了變化，鄰邊相乘實際上計算的是變大后的長方形的面積，而不是平行四邊形的面積，因此不能用底乘鄰邊。

【設計意圖】面對平行四邊形面積的計算，學生受長方形面積計算公式的負遷移的影響，產生“鄰邊相乘”的想法。學習不是被動接收信息刺激，而是學習者根據自己的經驗背景，對外部信息進行主動地選擇、加工和處理，從而獲得屬于自己的意義的過程。那么從學生的學習經驗出發，不但要讓學生知道“對，對的道理在哪里”，還要讓學生知道“錯，錯的原因在哪里”，甚至錯誤是否可以被利用或轉化。“同樣是轉化為長方形來思考，為何前者是對的，后者卻不對？”“平行四邊形面積為何不是‘鄰邊相乘？”人為制造矛盾沖突，引導學生參與對問題和錯誤的剖析，讓學生的經驗碰撞，在充滿挑戰和思維碰撞的過程中，深刻地認識到自己經驗中的錯誤，主動修正思考的方向和策略，從而確定計算方法“底乘高”的準確性。這樣獲得真正的數學理解，推理能力也能得到有益的發展。

三、新知內化，實踐應用

1. 平行四邊形花壇（圖4）的底是6 m，高是4 m，它的面積是多少？

2. 計算下面圖形（圖5）的面積的方法有（ ）。

3. 一個平行四邊形停車位（圖6）的面積是15平方米，底是3米，你能求出停車位的高是多少嗎？

4. 下面圖中（圖7）兩個平行四邊形的面積各是多少？你發現了什么？

5. 圖8中每個小方格的邊長是1 cm，這個平行四邊形的面積是多少？涂色的三角形的面積是多少？

【設計意圖】在例題的基礎上進行變式練習，練習的內容力圖體現層次性、綜合性、實踐性，引申拓展，再次促進學生對公式的靈活應用，為學生的后續學習打下基礎。

四、總結收獲，拓展延伸

1. 總結收獲：這節課我們一同經歷了平行四邊形的面積計算的推導過程，在今天的學習經歷中你有哪些收獲？

2. 課外拓展：我國古代數學家劉徽利用出入相補原理來計算平面圖形的面積。出入相補原理就是把一個圖形分割、移補，而面積保持不變，來計算它的面積。他著名的割補術一直是中國古代數學推導圖形面積計算公式的傳統方法，解決了一個又一個的數學難題。

（作者單位：河北省唐山市漢沽管理區皂甸小學 責任編輯：王彬）