在證明數列題中應用數學歸納法的研究

李欣雨

摘要：在高中數學題中，數學歸納法是非常常見的方法，尤其是在解決數列問題時得到廣泛應用，目前，很多學生缺少對數學歸納法的理解，在數列問題中也很少主動應用該方法，嚴重影響了學生的學習效率。本文對數學歸納法的含義進行了系統闡述，針對在證明數列題中如何應用數學歸納法提出了切實可行的方法，并結合實例進行詳細論證，希望能對同學們數學學習有所幫助和啟發。

關鍵詞：數學歸納法；數列題；論證

中圖分類號：G634文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）03-0026-01

數學歸納法是高中數學課程中所學習的一種非常重要的方法，能夠快捷條理的解決所遇到的數列問題，但目前，很多高中生在解決數列問題時很少主動采用數學歸納法，主要原因還是他們對數學歸納法的理解程度不夠，難以熟練靈活的運用數學歸納法。因此，找出數學歸納法在數列問題中運用的原理和規律迫在眉睫，必須予以高度重視，恰當運用數學歸納法在數列問題中運用的原理和規律能夠有效調動我們應用數學歸納法解決問題的積極性和主動性，有效提高我們學習數學的效率，能使學習達到事半功倍的效果。

一、數學歸納法定義

數學歸納法是一種數學證明方法，主要用于證明在局部或整個自然數范圍內某一個給定的命題是否成立，在數論中，數學歸納法主要是通過不同的方式證明無窮序列情形（第一個，第二個，第三個……第N個，一直下去無例外）都是正確的數學定理。

在數列題中比較常見的數學歸納法應用情形是證明N值等于任何一個自然數時整個命題成立。證明過程主要包含兩部分：首先，證明n等于1時命題是成立的，其次，假設n等于m（m為任意自然數）時命題成立，從而推斷出n等于m+1時命題也是成立的。原理就是先證明起點值是成立的，再證明從一個值到下一個值的過程也是成立的，只要滿足這兩點，就可以證明所有自然數都能夠適用于這個方法，從而運用此方法解決問題。

二、在證明數列題中數學歸納法的應用

1.先猜想再假設，最后證明結論

本質上來講，數學歸納法是一種歸納與遞推的數學思想，是通過演繹法去解決無窮問題所采用的一種工具，有了前面的P（n），必然會有后面P（n+1）的證明過程。

以2014年廣東省高考題為例進行應用分析：

題目：設數列{}的前n項和為Sn，滿足 = -3-4， ∈ N*，且S3 = 15，

（1）求a1，a2，a3的值

（2）求數列 {} 的通項公式

解析：第（1）題為常規題，通過已知條件就可以將前三項的值分別計算出來，即 a1 = 3，a2 = 5，a3 = 7。第（2）題中，我們已經知道了數列前項和之間的關系，這樣就可以通過和的關系式來解答：

在解答過程中運用數學歸納法來驗證：

= 1時，結論成立；

假設= （ 1）時， = 2 + 1，

= 3 + 5 + 7 +…+ （2 + 1） = = （ + 2）

又因為 = -3-4

所以 （ + 2） = -3-4

即 = + 6 → = + 1

所以 = +1 時，結論成立

這樣就可以得出 {} 的通項公式： = + 1， ∈ N*

在解題過程中通過猜想與假設，再加上數學歸納法的特點，借由 = 的情況推出 = +1的情況，一步步將結論證明出來，即方便快捷又條理清晰。先猜想再假設最后證明結論，這種數學歸納法的解題套路是一樣的，通過假設某一個條件，使后面證明的結論更加簡單，這就要求我們必須認真思考題目中已知的條件，從題目中獲取信息做出正確的猜想，只有這樣才能最終得到正確的結論。

以2014年安徽省高考題為例進行應用分析：

題目：設實數 > 0，整數 > 1， ∈ N*，證明：當x > -1且x ≠ 0時，>1+px。

雖然這道題不是像我們熟識的其他題目一樣用 和 來表示，但本質上來說是一樣的，用數學歸納法來解答時步驟如下：

當p = 2時， = +2x+1>1+2x，此時不等式成立；

假設p = k，不等式> 1+kx 成立，那么當p = k+1時，則

= （1+x）>（1+kx）（1+x）= +（1+k）x+1 > 1+（1+k）x

因此，當x > -1且x ≠ 0時，整數 > 1，>1+px都是成立的。

2.加強命題后再用數學歸納法證明

以2008年遼寧省高考題為例進行應用分析：

題目：在數列{}，{} 中， = 2 ， = 4，且，，成等差數列，，，成等比數列（ ∈ N*）

（1）求，，及，，，由此猜測{}，{} 的通項公式，并加以證明

（2）證明： + + +…+ <

在第（2）題中右邊的式子和 無關，不能直接采用數學歸納法，但可以先加強結論再用數學歸納法證明。

當 = 1時， = = < ，不等式成立

這時候用數學歸納法證明，當時， + +…+ < -

由第（1）題可以得出 + = ， = 2時結論成立。

假設 =時結論成立，

當 =+1時， + +…+ + < - + < - + = - = -，因此，當 =+1時，結論也成立。

也就是說，當 時， + + +…+ < 恒成立，

因此， ∈ N*， + + +…+ < 命題成立。

結語：

綜上所述，在高中數學課堂中，數學歸納法是學生必學的一種方法，熟練掌握數學歸納法能夠幫助學生快速且條理的解決數列論證問題，但目前，由于學生缺乏對數學歸納法性質的理解，難以熟練掌握數學歸納法，在數列問題中也很少主動采用數學歸納法解決問題，這對高中生的學習效果非常不利。因此，我們必須掌握數學歸納法的本質，舉一反三，嘗試在不同情形下運用數學歸納法，對于常識性的問題可以先猜想再假設，最后證明結論，對于較為復雜的問題，可以加強命題后再用數學歸納法證明。在掌握方法的同時，還要通過實例加以實踐鞏固，熟練掌握數學歸納法，在數列問題中主動應用，提高做題速度和效率，使數學教學效率事半功倍，進一步提高高中學生的綜合能力。

（作者單位：聊城市第三中學）

參考文獻：

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[2]楊德敏，龍朝陽.淺析使用數學歸納法中的邏輯錯誤[J].安順師專學報，2000（02）.

[3]譚興華.“小數嘗試法”在數學歸納法中的運用[J].和田師范專科學校學報.2011（05）