在證明數(shù)列題中應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的研究

李欣雨

摘要：在高中數(shù)學(xué)題中，數(shù)學(xué)歸納法是非常常見的方法，尤其是在解決數(shù)列問題時(shí)得到廣泛應(yīng)用，目前，很多學(xué)生缺少對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解，在數(shù)列問題中也很少主動(dòng)應(yīng)用該方法，嚴(yán)重影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。本文對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的含義進(jìn)行了系統(tǒng)闡述，針對(duì)在證明數(shù)列題中如何應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法提出了切實(shí)可行的方法，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行詳細(xì)論證，希望能對(duì)同學(xué)們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有所幫助和啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)列題；論證

中圖分類號(hào)：G634文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2016）03-0026-01

數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)課程中所學(xué)習(xí)的一種非常重要的方法，能夠快捷條理的解決所遇到的數(shù)列問題，但目前，很多高中生在解決數(shù)列問題時(shí)很少主動(dòng)采用數(shù)學(xué)歸納法，主要原因還是他們對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解程度不夠，難以熟練靈活的運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法。因此，找出數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列問題中運(yùn)用的原理和規(guī)律迫在眉睫，必須予以高度重視，恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列問題中運(yùn)用的原理和規(guī)律能夠有效調(diào)動(dòng)我們應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決問題的積極性和主動(dòng)性，有效提高我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率，能使學(xué)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果。

一、數(shù)學(xué)歸納法定義

數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，主要用于證明在局部或整個(gè)自然數(shù)范圍內(nèi)某一個(gè)給定的命題是否成立，在數(shù)論中，數(shù)學(xué)歸納法主要是通過不同的方式證明無窮序列情形（第一個(gè)，第二個(gè)，第三個(gè)……第N個(gè)，一直下去無例外）都是正確的數(shù)學(xué)定理。

在數(shù)列題中比較常見的數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用情形是證明N值等于任何一個(gè)自然數(shù)時(shí)整個(gè)命題成立。證明過程主要包含兩部分：首先，證明n等于1時(shí)命題是成立的，其次，假設(shè)n等于m（m為任意自然數(shù)）時(shí)命題成立，從而推斷出n等于m+1時(shí)命題也是成立的。原理就是先證明起點(diǎn)值是成立的，再證明從一個(gè)值到下一個(gè)值的過程也是成立的，只要滿足這兩點(diǎn)，就可以證明所有自然數(shù)都能夠適用于這個(gè)方法，從而運(yùn)用此方法解決問題。

二、在證明數(shù)列題中數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

1.先猜想再假設(shè)，最后證明結(jié)論

本質(zhì)上來講，數(shù)學(xué)歸納法是一種歸納與遞推的數(shù)學(xué)思想，是通過演繹法去解決無窮問題所采用的一種工具，有了前面的P（n），必然會(huì)有后面P（n+1）的證明過程。

以2014年廣東省高考題為例進(jìn)行應(yīng)用分析：

題目：設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足 = -3-4， ∈ N*，且S3 = 15，

（1）求a1，a2，a3的值

（2）求數(shù)列 {} 的通項(xiàng)公式

解析：第（1）題為常規(guī)題，通過已知條件就可以將前三項(xiàng)的值分別計(jì)算出來，即 a1 = 3，a2 = 5，a3 = 7。第（2）題中，我們已經(jīng)知道了數(shù)列前項(xiàng)和之間的關(guān)系，這樣就可以通過和的關(guān)系式來解答：

在解答過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來驗(yàn)證：

= 1時(shí)，結(jié)論成立；

假設(shè)= （ 1）時(shí)， = 2 + 1，

= 3 + 5 + 7 +…+ （2 + 1） = = （ + 2）

又因?yàn)?= -3-4

所以 （ + 2） = -3-4

即 = + 6 → = + 1

所以 = +1 時(shí)，結(jié)論成立

這樣就可以得出 {} 的通項(xiàng)公式： = + 1， ∈ N*

在解題過程中通過猜想與假設(shè)，再加上數(shù)學(xué)歸納法的特點(diǎn)，借由 = 的情況推出 = +1的情況，一步步將結(jié)論證明出來，即方便快捷又條理清晰。先猜想再假設(shè)最后證明結(jié)論，這種數(shù)學(xué)歸納法的解題套路是一樣的，通過假設(shè)某一個(gè)條件，使后面證明的結(jié)論更加簡單，這就要求我們必須認(rèn)真思考題目中已知的條件，從題目中獲取信息做出正確的猜想，只有這樣才能最終得到正確的結(jié)論。

以2014年安徽省高考題為例進(jìn)行應(yīng)用分析：

題目：設(shè)實(shí)數(shù) > 0，整數(shù) > 1， ∈ N*，證明：當(dāng)x > -1且x ≠ 0時(shí)，>1+px。

雖然這道題不是像我們熟識(shí)的其他題目一樣用 和 來表示，但本質(zhì)上來說是一樣的，用數(shù)學(xué)歸納法來解答時(shí)步驟如下：

當(dāng)p = 2時(shí)， = +2x+1>1+2x，此時(shí)不等式成立；

假設(shè)p = k，不等式> 1+kx 成立，那么當(dāng)p = k+1時(shí)，則

= （1+x）>（1+kx）（1+x）= +（1+k）x+1 > 1+（1+k）x

因此，當(dāng)x > -1且x ≠ 0時(shí)，整數(shù) > 1，>1+px都是成立的。

2.加強(qiáng)命題后再用數(shù)學(xué)歸納法證明

以2008年遼寧省高考題為例進(jìn)行應(yīng)用分析：

題目：在數(shù)列{}，{} 中， = 2 ， = 4，且，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列（ ∈ N*）

（1）求，，及，，，由此猜測(cè){}，{} 的通項(xiàng)公式，并加以證明

（2）證明： + + +…+ <

在第（2）題中右邊的式子和 無關(guān)，不能直接采用數(shù)學(xué)歸納法，但可以先加強(qiáng)結(jié)論再用數(shù)學(xué)歸納法證明。

當(dāng) = 1時(shí)， = = < ，不等式成立

這時(shí)候用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)， + +…+ < -

由第（1）題可以得出 + = ， = 2時(shí)結(jié)論成立。

假設(shè) =時(shí)結(jié)論成立，

當(dāng) =+1時(shí)， + +…+ + < - + < - + = - = -，因此，當(dāng) =+1時(shí)，結(jié)論也成立。

也就是說，當(dāng) 時(shí)， + + +…+ < 恒成立，

因此， ∈ N*， + + +…+ < 命題成立。

結(jié)語：

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)課堂中，數(shù)學(xué)歸納法是學(xué)生必學(xué)的一種方法，熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法能夠幫助學(xué)生快速且條理的解決數(shù)列論證問題，但目前，由于學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)學(xué)歸納法性質(zhì)的理解，難以熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法，在數(shù)列問題中也很少主動(dòng)采用數(shù)學(xué)歸納法解決問題，這對(duì)高中生的學(xué)習(xí)效果非常不利。因此，我們必須掌握數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，舉一反三，嘗試在不同情形下運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)于常識(shí)性的問題可以先猜想再假設(shè)，最后證明結(jié)論，對(duì)于較為復(fù)雜的問題，可以加強(qiáng)命題后再用數(shù)學(xué)歸納法證明。在掌握方法的同時(shí)，還要通過實(shí)例加以實(shí)踐鞏固，熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法，在數(shù)列問題中主動(dòng)應(yīng)用，提高做題速度和效率，使數(shù)學(xué)教學(xué)效率事半功倍，進(jìn)一步提高高中學(xué)生的綜合能力。

（作者單位：聊城市第三中學(xué)）

參考文獻(xiàn)：

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