探索等號的不對稱教育

周而計

等號是小學數學學習中最常用、最基本的一種符號，從四則運算中“遞等式”到解決問題中“尋找等量關系”，小學數學教育幾乎是“等號教育”。

長期以來，對等號教育“不對稱”的忽視，影響了學生正確地使用等號和對數學內涵的理解。所謂“不對稱”，狹義上是指從認識、理解、使用等實踐過程上反思，存在著與目的、目標等思想理論或學術中不相符合或匹配的現象。等號教育的不對稱性可從三個方面來進行探究。

一、查閱教材：“點”上編排，并非“點到為止”

小學階段的等號教育主要集中在“對等號的認識和使用”上，主要采取分散教學教材編排，滲透在數學的各個領域，尤其是在“數與運算”領域，“相等”或獲得“相等”是最基本、最主要的數學意識和能力。

與等號的重要性不相稱的是，其在教材安排上的蜻蜓點水。等號作為單一的知識點安排在教材展開之始或變化之際，即在等號使用意義變化和對“數與運算”不斷深化的需要時。它一般經歷了這幾個階段：第一階段，等號是求精確值的需要。這一階段的教學任務主要安排在低年段，借助簡單具體的生活情境，在比較數的大小中引出“相等”的概念時用“=”（單指符號）。等號教育最早出現在幼兒教育的中班教材中，重點是在簡單數數的基礎上判斷“相等與不相等”；至一年級時，又將“≠”分解成“>”“<”兩種情況，在比較中抽象“=”；二年級估算的引入，尤其是“估商”，強化了等號對求精確值的意義。第二階段，等號是解決問題的需要。這一階段的教學任務主要安排在中年段，借助具體的數學情境，在解決問題時建構數學模型（要求綜合列式），通過遞等式運算過程，來反映解決問題時運算法則和定律等數學知識與技能使用的合理與合情時使用“=”。這時，對等號“相等”的理解強化了其可傳遞特征；尤其在簡便計算或解法多樣化中，等號的可逆性中蘊含著數學優化思想等。第三階段，等號是邏輯抽象思維訓練的需要。這一階段的教學任務主要安排在高年段，借助抽象的數學情境（字母表示數、數量或數學關系），引入方程概念，豐富學生解決問題的方法和思維方式后，等號的內涵得以豐富，并在具體情境中探究“不變”或相等條件下執行“等價代換和等量平衡”的法則（如等式性質）下發生的。新教材在五年級上冊安排了“等式的性質”，為解方程尋求依據，突出等號兩邊的地位相等和等量關系。

等號常被片面理解為：沒有較復雜的抽象意義，卻有寓意鮮明的形象特征。對“=”的認識，也大多停留在“只需‘略識便可‘無憂使用”的粗淺層面上。這造成教師在處理教材時，把等號教育作為簡單的知識點教學一帶而過。但等號教育卻始終與數學內涵、數學思想的不斷深入和提高糾纏在一起。

二、調查學生：“廣”而用之，并非“運之掌上”

1. 等號不應是“得到”。

在算術四則運算的教學中，筆者發現相當數量的學生認為“=”只是作為表示“得到”的連接性符號，即將每一步“得到”的結果用“=”連接起來。而對“=”所蘊含著恒等可逆的觀念，隨年齡和學識的增加呈弱化的傾向，表現在學生逐步對計算或解決問題過程的反思、計算結果精確度和合理合情的要求失去了主動性和耐心。

2. 等號不只是“相等”。

等號表示“相等”，一般包含三層含義：①等號表示數學運算中計算結果相等；②等號表示方程兩邊數量關系相等；③等號表示等式兩邊的地位是一樣的。作為精確性運算或抽象的要求，“=”是抽象性數字游戲和邏輯性思維過程的理性思考的基礎，且在相當長的時間里（至少在小學階段）處于“不變”狀態，使學生對等號具有“相等”的多層含義失去活躍的理性思考。

3. 等號不只是“理性”符號。

等號是一種關系符號，在抽象性的數學環境中，具有強烈的“理性”特征。在解決問題并利用等量關系和等價代換來進行數學建模等抽象性數學思考時，“=”所表示的“抽象結果”的生活味和現實意義往往被忽視，合情性反思常讓位于合理性學習。這是數學高于生活的“理性”陷阱。

對學生而言，使用“=”，如同運之掌上，習慣于其形式，而忘了其內涵。等號至少是“思維體操”的口哨，命令其進行準確的理性思考，從而獲得豐富的感性體驗。

三、反思教學：“深”而究之，并非“無所事事”

等號是抽象的數學符號，等號教育的本質特征是理性思考。“=”絕不應在表示運算結果時“隨意”使用。不對稱特征下的等號教育不再簡單，應講究策略，突出理性思考價值，豐富感性積累，規范使用習慣。

1. 符號的意義在于養成一種習慣。

在“數與運算”領域，充分發揮等號的可逆性和可傳遞性特征。在計算過程中，學生必須養成在運算法則、定理，等式性質下進行每一步可逆和可傳遞的精確運算或推理的良好習慣。計算不但要“快、準”，更要培養學生在計算過程中的計算自信。而計算自信只有在“知其所以然”的前提下才能形成。在實際計算中，可將相關的法則和定理進行數碼化（編號），便于操作（標注在每一步后面）。這種數學書面表達習慣與初中的幾何證明過程是一致的。也可進行逆運算或驗算，即將“答案”倒推向“算式”的方程思維式練習。

2. 符號的生命源于引發思考。

在“數與形”的領域，充分利用“形”的直觀來表現“數”的抽象，溝通有限與無限，生活與數學，小學與初中的知識銜接等聯系。如用分數計算結果是“1”，化小數計算結果則是“0？郾999……”同一問題用兩種不同方法制造了一個“美麗錯誤”，引發學生的學習好奇和理性思考。數學總是在“美麗錯誤”中不斷思索、前進。

3. 符號的感覺高于生活體驗。

學習數學的目標之一是使學生懂得符號的意義，會用符號解決實際問題和數學本身的問題，發展學生的符號感。在“等價代換”時，如“1粒蘋果=2根香蕉”，這個數學模型中數量關系對于不同層次的學生有著不同的理解：低年級學生常理解成不同貨物之間的“等價”（或公平）交換，隨著學生生活和數學經驗的積累，發展到從質量、體積等方面上的比較與抽象思考。數學模型（一般性）與其在生活中的原型（典型性）之間存在著不斷地感性互動和理性建構。

4. 符號的使用力求規范有效。

改變“=”的書寫順序，有利于學生養成先思考清楚，再準確表達的習慣，這樣也有利于培養正確使用“=”的自信。先弄清依據，確認相等，再寫“=”；或先弄清數、數量、數量關系在生活或現實情境中是否符合情理，再寫“=”等。這些都是培養良好使用等號習慣較為有效的方法。

同時，要給學生減負，在大量的計算練習中，“疲勞”使用下學生無暇求真。隨著運算或解決問題情境的抽象化，學生并沒有因此獲得更多的計算技能和方法，而對每一步計算結果是否準確越來越“自信”。等號“連接”的隨意性和形式性符號，僅被作為反映學生被動式學習結果。這在高年級的學生中，相當普遍。可見，等號教育也要精練多思，突出等號本質。

5. 符號的靈魂系于學生主體。

傳統的應試教育過于重視結果及對結果（含每一步過程）熟練應用的評價，而對其在計算中的努力與思考、情感與習慣等關注不足。教育者過于關注的是作業的“錯與對”，關注的是學生所學的知識，而非學習知識的學生。于學生而言，只是盡可能對所學知識狀況“如實”地反映和描述，忽略了學習的自我反思，即不相等不能用“=”連接，由此等號也逐漸只作為一種描述性符號使用。

當學習有困難的學生利用計算器、學優生答案等更可靠的資源或工具來對符號的準確使用進行反思時，教師應該給予積極的肯定，更重要的是要積極地引導其對每一次使用過程進行反思，找出知識、技能或習慣上的盲點。學生要在自評實踐中獲得自信。而教師批閱作業，更應關注對學生自評能力的合理肯定和積極鼓勵，促進學生自信學習（包括學生對作業自評的能力和信心）習慣的形成。

（作者單位：福建省平潭縣敖東鎮中心小學）