授之以魚不如授之以漁

王姣

中圖分類號：G633文獻標(biāo)志碼：A文章編號：2095-9214（2016）03-0018-02

課前思考

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中學(xué)生要學(xué)會的不僅僅是一堂課的內(nèi)容，更是要學(xué)生通過一節(jié)課的經(jīng)歷，能夠掌握一種完整的研究問題的科學(xué)方法。通過這樣的一堂課，教師向?qū)W生傳遞了方法和經(jīng)驗，使得學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中，當(dāng)碰到問題的時候會形成有解決問題的思路和方法，授人以魚不如授人以漁，這是本節(jié)課希望達(dá)成的教學(xué)效果。

在《三角形的面積》學(xué)習(xí)前，學(xué)生已經(jīng)充分認(rèn)識了三角形的特征，掌握了長方形、正方形、平行四邊形面積計算，而緊跟其后的內(nèi)容是梯形、組合圖形的面積。《三角形的面積》最大的特點就是要突出實踐性、研究性、尤其是要強化學(xué)生的動手操作能力，學(xué)會完整的研究方法。通過教材，可以看出本課是希望讓學(xué)生通過一系列的操作研究明白所學(xué)圖形和已學(xué)圖形之間的聯(lián)系，新課前學(xué)生不僅要牢固掌握平行四邊形的面積，還要熟悉對三角形的特征以及三角形底高相對應(yīng)?；谔剿魅切蚊娣e計算公式是本節(jié)課的重點，但是如何探索，怎樣探索是本課需要突破的難點，本課設(shè)計意圖旨在學(xué)生通過思考，操作，驗證獲得解決問題的能力，掌握完整的研究方法。

教學(xué)過程

課前測試

計算三種平面圖形的面積。

1、長方形；2、平行四邊形；3、三角形。

班級總?cè)藬?shù)46人，第一題46名學(xué)生全部正確，第二題46人全部正確，第三題13人正確。

設(shè)計意圖，通過課前測試回顧已學(xué)圖形的面積，并了解學(xué)生對三角形形面積的了解情況。

根據(jù)課前的測試，教師溝通總結(jié)提升

當(dāng)平行四邊形的一組底和高正好是它的一組相鄰的底邊時，就成了正方形或者長方形。作為特殊的平行四邊形，長方形和正方形的面積事實上也是可以用S=ah來表示。

由此可見，知識之間的聯(lián)系是非常緊密的（板書：聯(lián)系），只要找到這些聯(lián)系，也就發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，那么對于進一步的學(xué)習(xí)便有了依據(jù)。這是因為在很多情況下，我們可以通過知識之間的聯(lián)系，把新學(xué)習(xí)的知識轉(zhuǎn)化為已有的舊知識來學(xué)習(xí)。

通過復(fù)習(xí)我們已經(jīng)進一步理解了這些平行四邊形的面積計算方法，知道平行四邊形的面積是和它的底和高有關(guān)系，那么今天要學(xué)習(xí)的三角形的面積和它的底高有怎樣的關(guān)系呢？

驗證（或探索）三角形面積公式

1、探究方法的確定。根據(jù)復(fù)習(xí)鋪墊，教師引導(dǎo)提問，三角形的面積如何計算？（生：把三角形也轉(zhuǎn)化成我們會求面積的圖形來計算。）

（1）現(xiàn)有水平的呈現(xiàn)。根據(jù)課前測試，一部分學(xué)生根據(jù)公式計算出了三角形的面積，另一部分學(xué)生還不知道三角形的面積公式是怎樣的形式。

教師提問，你怎么知道三角形的面積=底×高÷2的？

會計算的學(xué)生表示只是看到或者聽說三角形的面積計算方法，但是對于三角形的面積公式是如何得來的并不清楚。

不會計算三角形面積的學(xué)生，提出困惑，三角形的面積該怎么推導(dǎo)出來。

（2）確定研究對象。根據(jù)問題，確定要研究的對象，但對象要如何把握，教師引導(dǎo)提問，任意一個三角形面積都能用底×高÷2計算嗎？要怎樣證明？

學(xué)生思考，教師追問，是把每種三角形都研究一遍嗎？三角形有無數(shù)個，要逐個研究透是需要花較多時間的，有限的時間做無限的事情是不可能的。提出根據(jù)三角形角的特征分類，這樣只要研究直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形這三類三角形即可。

為了保證課堂時間，需要大家一起共同完成這個目標(biāo)。

（3）確定研究形式：合作、分工。研究透三種三角形，課堂時間有限，萬一來不及怎么辦？按組分工，每組確定準(zhǔn)備研究哪類三角形，確定自己要研究的三角形的類型后，到老師那里領(lǐng)取自己需要材料，開始小組分工合作操作。

（4）確定具體的研究方法。教師引導(dǎo)，你們已經(jīng)選好了要研究的這類三角形，那具體怎么去研究呢？用什么方法來呈現(xiàn)你們的思考過程？

（5）小組討論

2、動手操作、合作探究

教師ppt呈現(xiàn)合作要求：

（1）獨立思考；（2）小組交流，完成實驗記錄；（3）方法匯總；（4）準(zhǔn)備匯報。

實驗過程記錄組別：姓名：

我們組研究的是三角形，我們組使用（）個（） 的三角形得到（）

小組討論：拼成的新圖形面積和原來三角形面積有什么關(guān)系？

請用鉛筆和直尺標(biāo)出你所研究的三角形和得到的新圖形的底和高。再研究下面的問題：

a、原三角形的底等于拼成的（）形的（）；

b、原三角形的高等于拼成的（）形的（）；

c、原三角形的面積等于拼成的（）形的（）；

所以我可以得出三角形的面積=

3、思維碰撞，提煉對比。師：我們先請研究銳角三角形的小組介紹他們的方法，看看你能不能聽明白為什么三角形面積=底×高÷2？

生1：我們的方法是轉(zhuǎn)化成平行四邊形，我們組研究的是銳角三角形，我們組使用兩個完全一樣的銳角三角形，拼成一個平行四邊形；

教師給予表揚和肯定，能不能具體說一說你是怎么轉(zhuǎn)化的？這里要求學(xué)生說清楚：是用兩個完全一樣的三角形拼成了一個平行四邊形。

師：師：你的平行四邊形和原來的三角形有什么關(guān)系？

生2：倍數(shù)關(guān)系，三角形面積是它所拼成的平行四邊形的面積的一半。

師：觀察圖，平行四邊形的底高分別和三角形的底高有什么關(guān)系？

生3：三角形的底就是平行四邊形的底，三角形的高就是拼成的平行四邊形的高，

師：那么三角形面積應(yīng)該是怎樣的？

生4：平行四邊形的面積是底乘以高，三角形的面積即底乘以高除以2。

師：為什么除以2？

生5：因為底乘以高只是兩個完全一樣的三角形拼成的平行四邊形的面積，除以2得到的就是所要求得三角形的面積。

生共同得到銳角三角形面積公式：s=ah÷2。

師：直角三角形和鈍角三角形有沒有相同的研究方法，有的小組直接貼到黑板上進行展示。

師：通過倍拼的辦法，我們得出三角形的面積=s=ah÷2。

師：還有其他不同的研究方法嗎？

生6：我們研究的是一個銳角三角形，把一個三角形通過割和補也能轉(zhuǎn)化得到平行四邊形，如圖，原來三角形的底就是平行四邊形的底，平行四邊形的高是原來三角形高的一半，所以三角形的面積是底乘以（高除以2），也就是底乘以高除以2。

師：你真了不起，這種復(fù)雜的過程你都能想到，而且結(jié)果正確，非常值得我們大家學(xué)習(xí)。

生7：還有一種割補法（底÷2），方法同上。

師：有沒有用這種方法研究直角三角形和鈍角三角形的，有的請直接貼到黑板上，同學(xué)們真聰明，想到了很多辦法，不管哪種方法、哪類三角形，我們發(fā)現(xiàn)它的面積都可以用底×高÷2進行計算，那么現(xiàn)在我們是不是可以下結(jié)論：任意一個三角形的面積=底×高÷2是成立的？

生：完全同意。

師：用字母表示，可以寫成S=ah÷2。

師課件回顧填空式總結(jié)，

在探索三角形的面積時我們使用了轉(zhuǎn)化的思想，將三角形面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積。在轉(zhuǎn)化的過程中，可以使用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形來研究，即倍拼法，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底等于三角形的底，平行四邊形的高就是三角形的高，根據(jù)平行四邊形的面積我們推出，三角形的面積等于底乘以高除以2；

還可以使用一個三角形，轉(zhuǎn)化為平行四邊形，即割補法，這個平行四邊形的高（底）是三角形的高（底）除以2，平行四邊形的底（高）就是三角形的底（高），根據(jù)平行四邊形的面積我們推出，三角形的面積等于底乘以高除以2。

4、鞏固練習(xí)

師：知道了公式我們可以怎么用？

生：求面積。只要知道了三角形的底和高就能知道它的面積。

師：還可以知道什么？

生：知道面積和底求高；或者知道面積和高去求底。

師：怎么求？

生：面積乘以2再除以高（底）就得到底（高）。

師：為什么要乘以2.

生：轉(zhuǎn)化為等底等高的平行四邊形

師：計算三角形面積。

（1）（2）（3）

生：獨立完成

交流答案

師：為什么第（3）題不用5×4÷2計算呢？

生：底高要對應(yīng)

師：第（3）題中5對應(yīng)的高是多少？

生：獨立計算，交流。

5、課堂回顧總結(jié)

師：今天我們研究的是什么？

生：三角形的面積

師：我們是怎么研究的？

生：通過拼、割補、畫將新知識轉(zhuǎn)化成舊知識。

師：梯形和圓的面積公式我們還沒學(xué)過，你覺得可以用什么方法研究？

生：嘗試轉(zhuǎn)化為學(xué)過的圖形面積。

師：你們的猜測對不對呢？等我們下次學(xué)習(xí)的時候再去探索。

反思

整節(jié)課以“轉(zhuǎn)化”的思想貫穿始終，按照有序的研究思路解決問題，在學(xué)習(xí)三角形的面積之前已經(jīng)有很多學(xué)生會計算，但是僅限于知其然，而整堂課的目的就是在于讓學(xué)生不僅知其然還要知其所以然。教材目標(biāo)僅僅是讓學(xué)生通過拼的方法得到平行四邊形，很多情況下教師直接給出學(xué)生材料，即兩個完全一樣的各類三角形讓學(xué)生探索，但是這種探索前提已經(jīng)被教師設(shè)定好了框架，學(xué)生的思維直接被局限，學(xué)生也很難再有更多想法的機會。

本節(jié)課教師讓位學(xué)生，通過適時的引導(dǎo)，讓學(xué)生真正獨立的去研究，將大部分的時間花在兩部分，一是充裕的思考時間，學(xué)生面對要研究的三角形，會產(chǎn)生很多想法，問題難點在于如何轉(zhuǎn)化成學(xué)過的平行四邊形，以及轉(zhuǎn)化成的平行四邊形與原三角形之間有怎樣的聯(lián)系。

教學(xué)中，教師要充分的相信學(xué)生的合作能力，判斷能力，由于是分工合作，組內(nèi)成員有想法的可以帶動想法較為薄弱的，生生互動的效果更優(yōu)于師生互動的效果，一堂課帶給學(xué)生的不應(yīng)該只是一個結(jié)論，更重要的是學(xué)生親身體驗到獲得結(jié)論的過程和方法。但也有不足：

首先，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是經(jīng)歷操作、觀察、比較、討論、歸納等探索活動，體驗三角形面積計算公式的推導(dǎo)過程，并能應(yīng)用公式計算面積；進一步學(xué)習(xí)用轉(zhuǎn)化的思想方法解決新的問題，發(fā)展實踐能力，豐富空間觀念；培養(yǎng)合作研究、共同發(fā)展的學(xué)習(xí)品質(zhì)。目標(biāo)定位讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生感到吃力。

其次，在操作活動過程中，部分小組是組內(nèi)人員分別獨自研究沒有合作的意識，這樣的現(xiàn)象源于教師在分組前應(yīng)明確每一個成員的任務(wù)，做到人人有任務(wù)，成果是集體的成果。

一節(jié)課的整體能夠決定是成是敗，但是細(xì)節(jié)之處方能成就精彩，因此在后續(xù)或者再次執(zhí)教本節(jié)課，都需要教師繼續(xù)在細(xì)節(jié)花上時間和功夫。最后還有一點疑問和困惑，像這樣的公式推導(dǎo)課，許多學(xué)生在課前就已經(jīng)知道具體的公式了，在這樣的基礎(chǔ)之上，該構(gòu)建怎樣的數(shù)學(xué)邏輯？是遵從學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)驗邏輯還是按照教材的知識邏輯來進行呢？

（作者單位：杭州市余杭區(qū)喬司中心小學(xué)）