自然數的四個屬性

王建國

摘要：本文從人類對數的認識與發展，揭示了自然數的四個基本屬性：數量屬性；占位屬性；進位屬性；種屬屬性. 進而引出了一門新的數學——眾數學及眾運算，旨在從自然數的本質重新認識數學、詮釋數學.

關鍵詞：自然數；自然屬性；眾運算；眾數學

人類對數的認識經歷了漫長的歷史過程：從一個人、一棵樹、一株草、一只雞、一條魚、一頭豬、一座山、一潭水、一把椅子、一張席子、一片森林…抽象出自然數“1”，標志著人類的文字記錄、文明時代開始于對數的概念認識。從兩只眼睛、兩雙手、兩只胳膊、兩條腿、兩只腳…抽象出自然數“2”，使人類第一次認識到狩獵數量的增加與數的概念上數量增加是一致的對等的，從而使人類開始脫離于物質計數器（如貝殼、樹枝、石子、竹片、結繩等），以純粹的數字來計量計數。男女雙方因喜悅組建家庭，女人分娩生產出小孩，導致家庭的人口數量增加到三個，隨著人口數量的進一步再增加，形成了一個大家庭，同姓氏人口融合群居構成一個大家族，再由血緣關系、地域關系進而組成氏族、部落、公社或氏族聯盟、部落聯盟，最后形成獨立于其它種族的一個個民族、一個個國家。一朵花、二朵花不能成為花園，三朵花以上便組成一個大花園；一棵樹、二棵樹不能成為一座森林，三棵樹以上便可以組成一個大森林。所以獨花不能開放，獨木不能成林。人類便從物體的數量累加，抽象出自然數“3”。通過類比、延伸抽象出其它自然數：4、5、6、7、8…。那便是順理成章的事。因此，老子在《道德經》中所言：“一生二，二生三，三生萬物”。通過對自然數的重新認識，使我們知道自然數遵循物質的四個自然屬性。

一、第一種屬性是數量屬性

這是自然數最本質的自然屬性。自然數是一個抽象概念，獨立于自然物質，有別于自然物質。具體體現在兩點上：一是任何一個自然數都是由單位累積起來的；二是每一個自然數都有一個后繼者。因此，1889年數學家皮亞諾以自然數的數量屬性為基礎，建立起了有關自然數的五條公理，這里限于篇幅略去。

自然數的數量屬性，使物質集合（野獸、石子、花果、種子等）與數量集合建立起了一一對應的對等關系，標志著人類認識走向了數量化的認識之路，即數學之路。

自然數是人類認識事物、認識世界的一大進步。正因為有了自然數的這個數量屬性（即與物體的數量對等性），使人類開始大面積地從宏觀上把握認識事物、世界、宇宙。由于狩獵數量的增多、物品的剩余，人類開始思考如何按人進行分配物品，引發了“分數”的概念。古希臘畢達哥拉斯學派的成員希帕索斯（Hippias）發現了邊長為1的正方形（單位正方形）的對角線與邊長的不可公度性，被畢達哥拉斯學派集體封殺，據說把希帕亞斯拋入大海葬身魚腹，但他的偉大認識和發現，沒有被淹沒，卻載入了史冊。后來，人們在解方程的問題上，提出了“負數”的概念，完成了無理數到實數再到復數的數的擴充，再由復數把數擴充到多元數、向量、矩陣、張量…體現了人類由有限到無限的認識過程。但是不符合唯物辯證法的認識過程：有限→無限→有限。也就是說數擴充后沒有從無限認識回到有限認識中來，僅僅是向無窮方向層層推進。與復數有聯系的多元數、向量、矩陣、張量等不是數，但是有運算，也是層層向無窮延伸逐步推進。

下面羅列歸結為：

從數的擴充以及到實數公理系統的確立，人類對數的認識缺少了——把數由無限認識再回到有限認識的一個環節，這是數學認識與哲學認識共同缺失的鏈節。我們要做的就是建立一種新的數論來彌補上這個缺失，即在后面提出并建立的一門新的數學——眾數學。這門新的數學可以完成數學由有限到無限的認識，再由無限到有限的認識。這與哲學上經常講的“從實踐中來，再到實踐中去”，是一脈相承的。所以，數學老師以及數學書籍常常強調數學，“來源于生活，用之于生活”，是有著深刻的道理的。

二、第二種屬性是占位屬性

原始社會是狩獵、捕魚、種植的農耕時代。每天打下的野獸、捕到的魚、采摘的果實不僅有物品之分、數量之分，還要進行分配。否則，剩余要進行倉儲管理、占據一定空間。其實，自然數在形成之初就具備了這種天然基因——自然占有空間位置。如243個人、243只雞、243條魚，抽象出數量“243”，如何再分配給每一個人呢？筆者通過認識思考發現：如果把每一個位置上的數字從整體上考慮，你就會發現把243各位數字相加得到一個新的數量結果，即2+4+3=9。

當然，你把243這個數字輪換變成了234、324、342、423、432。其各位數字相加得到的結果仍然是“9”。不妨你試試。這是巧合嗎？這是偶然嗎？顯然，拋開這6個數字的形式，我們發現這6個數只是與2、3、4三個數有關。因為這三個數相加的結果就是：2+3+4=9。

在這里把243的各位數字相加得到的結果的運算，稱之為“眾數和”運算。

234的各位數字相減得到的結果是：-2-3-4=-9；把243這個數字輪換變成234、324、342、423、432，其各位數字相減得到的結果仍然是“-9”。

在這里把243的各位數字相減得到的結果的運算，稱之為“眾數差”運算。

234的各位數字相乘得到的結果是：2×3×4=24，再把24的各位數字相加得到的結果是：2+4=6；24的各位數字相減得到的結果是：-2-4=-6；24的各位數字相乘得到的結果是；2×4=8。把243這個數字輪換變成234、324、342、423、432，這五個數字的各位數字相加、相減、相乘得到的結果與234一樣。

在這里把243的各位數字相乘得到的結果的運算，稱之為“眾數積”運算。把各位數字相除得到的結果的運算，稱之為“眾數商”運算。在這里，把眾數和、眾數差、眾數積、眾數商的幾種運算，統稱為“眾運算”，其建立的數學統稱為“眾數學”。在這里暫且不討論眾數學的眾運算規律與法則，有興趣的讀者可閱讀筆者即將出版的《眾數學》有關章節內容。

三、第三種屬性是進位屬性

同一個數可以用不同的進位制來表示。如：十進數35（10），可以用二進制表示為100011（2），可以用三進制表示為1022（3），可以用五進制表示為120（5），可以用八進制表示為43（8），可以用十六進制表示為23（16）。

一般情況下，整數運算的加減乘除是十進制運算，而對整數進行眾數和運算，發現整數又是遵循嚴格的精準“九進制”運算，不重復、不遺漏。如觀察整數1～45的眾數和是1、2、3、4、5、6、7、8、9，這里是指最小的眾數和，其中“9”相當于十進制中的“0”，只起占位和進位意義。

不同的進位制在不同的領域有著不同的用途。如二進制廣泛應用在計算機方面；三進制主要用在軍隊編制方面；八進制廣泛應用在計算機方面；十進制最為常用，主要應用在人們的日常生活中；十二進制主要應用在計算月份、時辰、天干地支；二十進制被瑪雅文明使用過；六十進制主要應用在計算時間上（秒、分）。

四、第四種屬性是種屬屬性

不同民族不同國家曾使用過不同的進位制，但目前幾乎所有國家均采用十進制。原始社會由于人們的認識水平低，對事物的劃分比較膚淺。如按照性別把人分為男人與女人；按照事物的數量分為多與少；按照擁有物品把財產分為有與無財產；按照天氣的溫度分為冷與熱。按照人的品格把人分為好人與壞人。按照數的奇偶性把整數分為奇數與偶數。按照數的大小性把整數分為正數與負數…

人類社會早期，人們認識到同一事物內部存在著相互對立的兩個方面。如有無、多少、大小、方圓、曲直、繁簡、聚散、長短、疏密、動靜、虛實、剛柔、正負、高低…在一定范圍內也存在著相互對立的事物或勢力。如男與女、賓與主、敵與我、好人與壞人…無論多么復雜的物質或現象，這種普適規律——對立統一關系都存在。這種認識是樸素的、簡單的、直接的，是一分為二的，這種既對立又統一的觀點，在中國古代用陰陽二字來概括，稱之為陰陽學說；在西方稱之為對立統一規律。一分為二的陰陽概念抽象為集合概念，能分析揭示出自然界對立事物的根本變化原因及其根本規律。同樣，用陰陽關系來代替對立事物的關系以及矛盾雙方的相互關系，似乎很有概括性，一直沿用了中國上下幾千年，并影響左右著中國傳統文化以及世界文化。故《類經陰陽類》說：“陰陽者，一分為二也”。哲學上的“陰陽觀”、“一分為二”的觀點，與數學上的二進制算術系統相對應相聯系，是哲學系統與數學系統的相互聯系與統一。

參考文獻

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