如何求不可度量的物體寬度、長度、高度

趙金龍

全日制義務教育數學課程標準指出：數學與人類發展和社會進步息息相關，特別是隨著現代信息技術的飛速發展，數學更加廣泛應用于社會生產和日常生活的各個方面.數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的理性思維和創新能力方面的不可替代的作用.課程內容也包括數學結果的形成過程和數學思想方法.課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索.使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗.

下面結合教科書借助所學過的知識，就不可度量的物體寬度、長度、高度的求法作一探導.

方法一構造出兩個全等的三角形，利用全等三角形的對應邊相等的原理來求不可度量的距離.

例題1（人教版新課程八年級數學（上）P9例題）如圖1，有一個池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個可以直接到達A和B的點C，連接AC并延長到D，使CD=CA，連接BC并延長到E，使CE=CB，連接DE，那么量出DE的長就是A、B的距離.為什么？

理由：在△ABC和△DEC中，

CA=CD，

∠1=∠2，

CB=CE，所以△ABC≌△DEC（SAS），所以AB=DE.

例題2（人教版新課程八年級數學（上）P13例題）如圖2，要測量池塘兩岸相對的兩點A、B的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點C、D，使BC=CD，再畫出BF的垂線DE，使E與A、C在一條直線上，這時測得DE的長就是AB的長.為什么？

理由：在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ABC=∠EDC=90°，

BC=CD，

∠ACB=∠ECD，

所以△ABC≌△EDC（ASA），

所以AB=DE.

方法二利用函數關系式來求出不可度量的高.

例題3（人教版新課程八年級數學（上）P76、練習T9改編）自由下落物體的高度h（單位：米）與下落時間t（單位：秒）的關系是h=4.9t2，如圖3，有一物從樓頂上自由落下，它到達地面的時間為5秒，則此建筑物的高度是多少？

解h=4.9×52=4.9×25

=122.5（米）.

因此，此建筑物的高度為122.5米.

方法三構造出兩個三角形相似，利用相似三角形的對應邊成比例的原理來求不可度量的距離.

例題4（人教版新課程九年級數學（下）P49例題）據史料記載，古希臘數學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構造出兩個相似三角形，來測量金字塔的高度.如圖4，木桿EF長 m，它的影長為3 m，測得OA為201 m，求金字塔的高度BO.

解太陽光是平行光線，因此∠BAO=∠EDF，

又因為∠AOB=∠DFE=90°，所以△ABO∽△DEF，

BOEF=OAFD，所以BO=OA·EFFD=201×23≈134 m.

因此金字塔的高約為134米.

例題5（人教版新課程九年級數學（下）P50例題）如圖5，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q和S，使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當的點T，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R，如果測得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的寬度PQ.

解因為∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，

所以△PQR∽△PST，PQPS=QRST，QPQP+45=6090，

解得PQ=90.因此河寬大約為90米.

方法四構造出直角三角形，利用直角三角形的三角函數關系來求不可度量的距離.

例題6（人教版新課程九年級數學（下）P92例題）熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120 m，這棟高樓有多高？（結果精確到0.1 m）

解如圖6所示，

α=30°，β=60°，AD=120，

因為tanα=BDAD，tanβ=CDAD，

所以BD=ADtanα=120tan30°

=120×33=403，

所以CD=ADtanβ=120tan60°=120×3=1203，

所以BC=BD+CD=403+1203=1603≈277.1.

答：這棟樓高約為277.1 m.

例題7（人教版新課程九年級數學（下）P93例題）如圖8，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠？（精確到0.01海里）

解如圖7，過P點作PC⊥AB，垂足為C.

在Rt△APC中，

PC=PAcos（90°-65°）=80cos25°≈80×0.91=72.8.

在Rt△BPC中，∠B=34°，因為sinB=PCPB，

所以PB=PCsinB=72.8sin34°≈72.80.559≈130.23.

答：這時，海輪所在的B處距離燈塔P約有130.23海里.