添加輔助圓巧解幾何題

張蓓蓓

“圓”是特殊的平面曲線圖形，近年來，利用圓中的基本性質及定理，構造輔助圓來解決問題，在各地中考中備受青睞.雖然應用的知識點比較簡單，但是在動態問題中，對學生的能力要求比較高，因此，學生們需要深刻理解基礎知識，才能靈活解題.筆者歸納出三類適合添加輔助圓來解決的問題，現結合試題進行分析.

一、利用等距離構造圓解幾何題

這類試題的特點是有若干個點到某一點的距離相等，依據到定點距離等于定長的點的集合是圓，即到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上，從而構造輔助圓來解決問題.

問題1如圖1，在△ABC中，BM=CM，且AM=12BC，求證：∠BAC=90°.

分析由題意得BM=CM=AM，所以，點A、B、C在以點M為圓心，MA為半徑的同一個圓上，如圖2.根據直徑所對的圓周角為直角，得∠BAC=90°.

問題2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，點D是邊BC的中點，點E是邊AB上的任意一點（點E不與點B重合），沿DE翻折△DBE使點B落在點F處，連接AF，則線段AF長的最小值是.

分析線段AF的端點A是定點、F是動點，為了求出線段AF長的最小值，需要先確定動點F的運動軌跡.根據△DBE沿DE翻折使點B落在點F處，可知點F到點D的距離始終等于BD的長度3，因此，點F的運動軌跡是以點D為圓心，DB長為半徑的圓（如圖4）.連接AD與⊙d交于點F1，AF1就是線段AF長度的最小值.由題意可得AD=5，DF1=DB=3，所以AF1=AD-F1D=2.

二、利用圓周角定理的推論構造圓解幾何題

這類試題的特點一：需要確定一個動點為直角頂點；特點二：一個四邊形的一組對角都是直角.依據圓周角定理的推論：90°的圓周角所對的弦是直徑，直徑所對的圓周角是直角，從而構造輔助圓來解決問題.

問題3平面直角坐標系中，已知點A（-4，0），B（2，0），若點C在一次函數y=-12x+2上，且△ABC為直角三角形，則滿足條件的點C有個.

分析△ABC為直角三角形，并沒有明確哪個角是直角，因此，需要分三種情況討論.當B為直角頂點時，過點B作x軸的垂線與已知直線交于點C1；當A為直角頂點時，過點A作x軸的垂線與已知直線交于點C2；當C為直角頂點時，由直徑所對的圓周角是直角，聯想到點C的軌跡是以AB為直徑的圓，圓與已知直線有兩個交點C3、C4（如圖6）.因此滿足條件的點C共有4個.

問題4在平面直角坐標系中，直線y=43x+4分別交x、y軸于點B、C兩點，點A在x軸的正半軸上，過A點作直線BC的垂線，垂足為E，且E在BC邊上，線段AE交線段CO于F點，在點A運動的過程中，連接EO、BF，試判斷∠FEO與∠FBO的大小關系，并說明理由.

分析由題意得∠BEF=90°，依據90°的圓周角所對的弦是直徑，點B、E、F在以BF為直徑的同一個圓上，由∠BOF=90°同理可得點B、O、F在以BF為直徑的同一個圓上，也就是說點B、E、F、O在以BF為直徑的同一個圓上，簡稱四點共圓.依據同圓中同弧所對的圓周角相等，可得∠FEO=∠FBO.

三、利用圓周角定理構造圓解幾何題

這類試題的特點是角的大小不變，但頂點在動，依據圓周角定理：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等，從而構造輔助圓來解決問題.

問題5直線l與線段AC的夾角是50°，且AB=BC，在直線l上找一點P，使得∠APB=30°，滿足條件的點P共有個.

分析由∠APB的頂點P在動，但是∠APB的大小不變，聯想到圓周角定理：圓中同弧或等弧所對的圓周角相等，從而把∠APB看做是某個圓的圓周角，根據圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半，可得圓心角的度數為60°，作出如圖9所示的等邊△AMB，以M為圓心，MA為半徑畫圓，則點P的軌跡是圓上弦AB以上的部分，與直線l相交于P1、P2，即滿足條件的點P共有兩個.

問題2如圖10，在平面直角坐標系中，A（1，0）、B（5，0）、C（6，3）、D（0，3），點P為線段CD上一點，且∠APB=45°，則點P的坐標為.

分析由∠APB的頂點P在動，但是∠APB的大小不變，聯想到圓周角，需要添加輔助圓⊙M，且圓心角∠AMB=90°，圓的半徑為22，點P的軌跡是圓上弦AB以上的部分，與CD交于P1、P2，作MH⊥x，連接P1M，可得P1M=22，MH=1，P1H=7，則DP1=3+7<6（CD=6），所以P1（3+7，3），同理可得P2（3-7，3）.