數學教學中的類比推理

張鈺婷

類比推理是理解新問題、拓展新領域的重要手段.波利亞曾說：“如果沒有相似推理，那么無論是在初等數學還是高等數學中，甚至在其他任何領域中，本來可以發現的東西，也可能無從發現.”開普勒也說：“我珍惜類比勝于任何別的東西，它是我最可依賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中尤其不能忽視它.”

以下是類比推理的應用舉例.

類比推理具有探索真理，發現真理的作用，是科學創造中的一個重要思想方法.在數學學習中若注意自覺運用類比推理的方法，將對拓展思維、培養理解能力、增強解題能力等方面有重大的意義.類比推理具有思維、理解、解題功能.既然類比推理如此重要，那么到底在數學中有什么應用呢？

1.類比推理在圓錐曲線中的應用

圓錐曲線中，圓、橢圓、雙曲線在定義的時候都是通過到定點的距離來定義的，它們之間的很多性質通過類比也可以得到.

例如：由點與圓的位置關系類比得到點與橢圓的位置關系.

由圓的概念易得點P與圓O的三種位置關系：

點P在圓上，則|PO|=r（r為圓O的半徑）；

點P在圓外，則|PO|>r；

點P在圓內，則|PO|

由上述結論可以看出，點和圓的位置關系與一個定點和一個常數（半徑）有關，那么，橢圓中的兩個定點（即焦點）與一個常數（即2a）有關，應用類比推理，是否得到橢圓中的類似結論？

由類比，我們容易得到如下的猜想：

若點P在橢圓上，則|PF1|+|PF2|=2a；

若點P在橢圓外，則|PF1|+|PF2|>2a；

若點P在橢圓內，則|PF1|+|PF2|<2a.

下面我們來驗證或證明這個結論的正確性.根據橢圓的概念容易知道：

若點P在橢圓上，則|PF1|+|PF2|=2a成立；

若點P在橢圓內，連接F1P并延長交橢圓于Q，則

|PF1|+|PF2|<|QF1|+|QF2|=2a.

同理，可以證明出點P在橢圓外的結論.

2.類比推理在幾何中的應用

類比推理在數學中的應用最能得到很好的體現的就是在幾何中的應用.空間三維中的很多性質，往往都能在平面中找到相類似的性質，這給立體幾何的學習帶來了方便.

例如：在平面幾何中，有勾股定理：設ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐A-BCD的側面積與底面積之間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐A-BCD三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，且面積分別是S1、S2、S3，△BCD的面積是S，則S與S1、S2、S3之間的關系是”.

分析聯想勾股定理的證明過程：

如圖1，作CE⊥AB于E，利用投影定理得

BC2+AC2=BE·AB+AE·AB=AB2.

根據平面的解題方法，類比空間圖形的做法，作截面（圖2），所以

S21+S22+S23=14（BC2·AE2+AD2·AC2+AB2·AD2）

=14（BC2·AE2+AD2·BC2）=14BC2·DE2=S2，

即S2=S21+S22+S23.

又例如：設△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，且AB=a，Ac=b，則內切圓的半徑r=aba+b+a2+b2.

類比到空間，得“三棱錐A-BCD中，三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，且面積分別是S1、S2、S3，則三棱錐的內切球的半徑是多少？”

分析本題顯然要將空間幾何類比到平面幾何，首先分析一下平面△ABC內切圓半徑的求解方法：

因為△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，且AB=a，AC=b，

根據三角形面積的兩種不同表示方法，得

12ar+12br+12a2+b2r=12ab，

則r=aba+b+a2+b2.

在三棱錐A-BCD中，設三條側棱分別為AB=a，AC=b，AD=c，底面△BCD的面積為S，由于三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，且面積分別是S1，S2，S3，由上例我們可以得到S2=S21+S22+S23.

又三棱錐A-BCD中，以內切球的圓心為頂點，三棱錐A-BCD的四個面為底面構成的四個三棱錐的體積之和等于三棱錐A-BCD的體積，從而有

13S1r+13S2r+13S3r+13S21+S22+S23=13×12abc.

由于12ab=S1，12bc=S2，12ac=S3，

得12abc=2S1S2S3，

即r=2S1S2S3S1+S2+S3+S21+S22+S23.

從上面類比推理的應用中，我們可以看到，無論是在代數中還是在立體幾何中，不論是關于概念，還是關于性質和結論，都運用到了類比推理的方法.近年來，中學教學中，又加重了類比推理思想的比重，可見類比推理在數學學習中有著越來越重要的地位.那么怎么培養學生的推理能力，讓他們在數學學習中像演繹推理一樣順暢的應用呢？1、注重知識的積累，完善自身知識體系雖然說，教師是學校教育系統中，最重要的因素，在與學生的授受關系中，教師處于主導的地位.學生知識體系的構成，大部分是依靠教師的親口傳授.但是，知識的吸收、內化、形成知識系統還是由學生自身來完成.在發現新知識、創新解題時，教師通常會進行引導、組織學生運用類比推理的思想去解決，這時，學生就要注重知識和方法的積累.通過研究發現，學生已有的知識水平對類比能否順利實施開展起決定作用，只有有了相關知識，才使類比推理的發現有了可能.只有頭腦中有完整的知識體系，在碰到新問題時，才能從體系中，抽取出與新知識具有聯系的已學知識.因此，在遇到問題時，要盡量思考，探索新穎的解題方式，而不是形成思維定勢，這樣不利于類比推理能力的培養.2、 創設類比問題情境，加強練習模仿在培養操作技能時，模仿了之后，我們就要進行反復的訓練，使之達到熟練的程度，同樣，類比推理能力的培養，也需要這樣的練習，那就是多經歷這樣的類比問題情境.在數學教學中，教師會適時的創設類比推理的問題情境，并且在講解過程中，會將思維過程和每一個環節展示給學生，讓學生能夠形象具體的感受到類比推理的思想.教師在教學中會創設問題情境，不僅如此，學生在學習過程中，要盡量自己創設情境，增加練習的機會.現在的新教材中，很注重理論練習實際這一點，每節內容中，都涉及到生活的實例，學生可以從這些實際問題出發，類比得到一些數學知識.另外，數學教材的編排是按照知識的發展和學生的認知規律來編排的，這樣有利于前后知識的類比.3、 學習過程中注重變式學習應該說變式教學是中國教學中的成功環節，通過變式的學習，可以讓學生分析、提煉出表象后面相同本質的東西，通過長時間的潛移默化的影響，培養分析問題的意識和能力，從而加強自身進行主動類比的能力.因此，學生在學習中，對于變式學習，要加以重視，只有這樣才會在遇到新的問題時，站在一定的高度去認識、把握問題，才能有自己獨特的想法.4、開展小組合作學習，增進交流中學生的思維還不成熟、不完善，演繹推理對他們已經有一定的難度，類比推理對他們的要求可能相對更高了，有時，單靠學生自己在短時間內事很難發現內在聯系并解決問題.所以，學生在自我學習的時候要更多的和身邊的同學組成小組，一起進行探究.俗話說：“三個臭皮匠勝過一個諸葛亮”，通過小組成員間的討論，使大家的思維都活躍起來，通過小組的合作去提出問題、解決問題、構建知識.這樣，不僅解決了問題，在訓練自己的類比推理的同時也增加了其他人進行類比思維訓練的機會.在合作學習中，共同提高類比推理能力.5、注重題后反思許多學生在解決完問題后，就不會去思考什么，特別是那些有難度的問題，學生往往會沉醉在成功解題的興奮中，但不會再回過頭去研究問題.而題后反思恰恰是很重要的一個環節.將所解問題與之前所學知識或者已經解決的問題，放在一起思考，或許能找到些共同點和聯系之處，這樣，在以后的學習中，遇到類似的問題，就能很快發現與之相類似的問題，通過類比，最終解決問題.