借解法探命題

李俊芳

如果說：解題是執利予破堅盾的話，命題就是精制堅盾以御利予.做為命題者，總會在一份練習或試卷中，把自己研究中靈巧之處，智慧之處，充分展示出來，這些智慧的結晶，總會成為解題者的痛苦.往往命題者是老師或專家，而解題者是老師或學生，這是一場沒有硝煙的戰爭！這場戰爭的過程雖然不會流血，更不會有犧牲，但驚心動魄程度卻不亞于有硝煙的戰爭.做為一線教師，研究命題者命題的方式方法，利于解題，更利于教學.所謂知己知彼，方百戰百勝.

問題實數x，y滿足x≥y≥1和2x2-xy-7x+y+9=0，則x+y=.

方法探索

解析一直接轉化成y=2x2-7x+9x-1，

再根據x≥y≥1，可得到x≥2x2-7x+9x-1≥1，

取前一個不等號，可得到x≥2x2-7x+9x-1，

于是有（x-3）2≤0，

而（x-3）2≥0，所以只有（x-3）2=0.

從而得到x=3，再得到y=3，所以x+y=6.

當然這個解法有漏洞，變形過程中忽視了x的取值范圍：應分類討論，

當x=1時，原方程變形為：4=0，顯然不成立；

當x≠1時，把上面的分析過程整理成解題過程即可.

解析二解二元二次不定方程，通常會想到配方法；最理想的結果是形如（ax+b）2+（cy+d）2=0，然而嘗試的結果是配方時缺少關鍵項：y2，這種方法是失敗的.

重新梳理思路：鑒于沒有y2項，因而所能得到的最好結果應該是形如

（ax+b）2+（cx+d）（ey+f）=0，

或（ax+b）2+（cx+d）（ey+f）≤0.

應該能分析出結果，但這僅僅只是一個猜想，而且在這個式子中，必須由“+”連接，否則，所得的結果也未必能夠真正解決問題.同學們嘗試的時發現：

原方程2x2-xy-7x+y+9=0變式成：2（x-2）2-xy+x+y+1=0，

后四項中二次項xy的系數如果“+”，問題似乎就解決了；

就算是“+”，同樣出現新的問題：2（x-2）2+xy+x+y+1=0，

可化成：2（x-2）2+（x+1）（y+1）=0，

很明顯，根據x≥y≥1，方程的左邊是大于0的，即這是無法成立的式子！

所以，這個想法也是失敗的！這說明這種配方的方式不正確；同時也說明二次項不應該是-xy，那只能是“x2”了！這個失敗乃成功之母的經驗告訴我們：配方過程中“2x2”的2有文章可做！我們已經非常接近成功.

正解先變形為x2-6x+9+x2-xy-x+y=0易得（x-3）2+（x-1）（x-y）=0；結合x≥y≥1，方程左邊（x-3）2≥0且（x-1）（x-y）≥0，其和為0，回歸“非負數之和為0”問題，于是x=y=3，求得：x+y=6.

命題研究“非負數”即不是負數的數，包括正數和0，其最小值是0.當幾個非負數之和為0時，如果非負數有不取0的數，其結果均不可能是0，所以每個加數必為0！這就數學中一個重要結論：“非負數之和為0，則各個非負數皆0”.因其內容廣博，涉及數與式的偶次方、絕對值、偶次算術根、整式運算、因式分解、分式運算等代數知識，可以檢測學生的綜合分析和處理數據能力，所以在代數領域中有其獨特的魅力，是數學命題中一個重要內容.主要有以下幾種常見形式：

偶次方型：

（x1-a1）2+（x2-a2）2+…+（xn-an）=0，

絕對值型：

|x1-a1|+|x2-a2|+…+|xn-an|=0，

偶次根式型：

x1-a1+x2-a2+…+xn-an=0，

無一例外，結果都是xi=ai，其中i=1，2，3，…，n.以這些基本模型，可以派生出多種新的有價值的問題、方法，借助“非負數之和為0，則各個非負數皆0”這一模型，命題通常采用倒裝式.試舉兩例如下：

命題舉例一令x=2，y=3

x-2=0，y-3=0

（x-2）2+（y-3）2=0

x2-4x+y2-6y+13=0，

這樣展示出以下從易到難的問題：

可設置的問題：

1.①對于實數x，若（x-2）2=0成立，則x的值是.

②對于實數y，若（y-3）2=0成立，則y的值是.

2.對于實數x、y，關系式（x-2）2+（y-3）2=0成立，則x+y的值是.

命題變式1：對于實數x、y，關系式x2-4x+y2-6y+13=0成立，求x+y的值.

命題變式2：對于實數x、y，關系式x2+y2+13=4x+6y成立，求x+y的值.

命題變式3：對于實數x、y，關系式x2+y2+13=4x+6y成立，求yx（或xy）的平方根.

命題說明：

變式1，命題的基本思路，考驗學生對完全平方公式的掌握程度；相對于原問題，對于剛剛學過完全平方公式的七年級學生，要通過配方，得到原問題，需要把13裂項成為4+9，是有一定難度的，主要目的是讓學生獲得解決這種問題的經驗：對于二元二次方程，主要思路是希望通過配方成“非負數之和為0”問題.

變式2，命題思路，再次設置梯度，相對于變式1，雖然只是進行了移項變形，但對學生的思維提出了新的要求，難度再次升高.

變式3，除了對已知進行了變形，還對所求的結論要求提高：即出現了學生不熟悉的yx型，這也是學生很不喜歡的類型，所以帶給學生的壓力還會來自心理上！

混搭型：

先看一個問題：

已知：三個實數a、b、c滿足a+b+c=2a-1+4b-2+6c-3+8，求abc的平方根.

它的編制過程是把平方基本型簡化：

（x1-a1）2+（x2-a2）2+…+（xn-an）2=0，

其中n=3，且（x1-1）2+（x2-2）2+（x3-3）2=0，

再令：x1=a-1，x2=b-2，x3=c-3，

就得到：

（a-1-1）2+（b-2-2）2+（c-3-3）2=0；

再打開平方，移項，就會得到：

a+b+c=2a-1+4b-2+6c-3+8.

解法過程不言而明.

其實，這種“倒裝式”編制題目的方式，我們老師并不陌生，再回歸原問題解析2，探究原問題的編制方法，不難發現，或用這種方式編制出“一模一樣”的題目：

對于實數x、y，對于（x-a1）2+（x-y）（y-a2）=a3，可以命制出下面的問題：

1.當a3=0時，賦予a1、a2以常量，并限定x、y的條件，即可編制成一個問題；

2.當a3≠0時，賦予a1、a2以常量，并限定x、y的條件，即可編制成一個求不定方程整數解的問題.

再設置一定的門檻，還可以編制出原問題的姊妹題.

3.還可進一步增加難度：對于實數x、y，對于（b1x-a1）2+（x-y）（b2y-a2）=a3，賦予b1、b2、a1、a2、a3以常量，并限定x、y的條件，可制作成與x、y相關的不定方程題.

當然，對教師來說，編制問題并不容易，對學生來說，解決問題也不容易.所以要經過數番磨練才能窺得一斑.在現在的教學中，我們老師對命題的方式方法上的收獲，應該和學生一起來探討，學生的解決問題的能力也會隨之變強.