正確發(fā)揮圖形直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

黃亞麗 徐恒祥

孔凡哲教授認(rèn)為：“在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，幾何直觀具體表現(xiàn)形式有四種，即實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，常見常用的圖形直觀有線段圖、方形圖、模型圖、集合圖、關(guān)系圖、示意圖、替代圖等。”[1]圖形直觀對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、分析和解決問題、發(fā)展能力等發(fā)揮著十分重要的作用。那么，如何正確發(fā)揮圖形直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用呢？對此，筆者談一孔之見，求教同仁。

一、 “用圖”導(dǎo)學(xué)，為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供幫助

數(shù)學(xué)知識的抽象性、復(fù)雜性和特殊性，是造成一些學(xué)生難理解、難接受、難內(nèi)化的原因之一。利用圖形直觀幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可以把某些知識化難為易、化抽象為具體，使學(xué)生恍然大悟、豁然貫通，更能讓學(xué)生深切體會到圖形直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用，從而啟迪學(xué)生自覺地借助直觀的幾何圖形學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、看待問題。

1.在“有形”中理解數(shù)學(xué)

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中最基本的兩個概念，很多數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念既具有“數(shù)的特征”又具有“形的特征”。只有將“數(shù)”“形”密切結(jié)合起來（即借助直觀的幾何圖形引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識），才能更好地幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念之本質(zhì)。例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊“除法的性質(zhì)”中的例題：王老師買了5副羽毛球拍，花了330元。每支羽毛球拍多少錢？教材呈現(xiàn)了兩種解法：①330÷5÷2，學(xué)生不難理解其意，先算每副羽毛球拍多少錢，再算每支球拍多少錢；②330÷（5×2），學(xué)生亦不難理解，先算一共有多少支羽毛球拍，再算每支球拍多少錢。但是，教材回避了第三種解法：330÷2÷5。的確，330÷2要聯(lián)系實際作出解釋比較困難，但如果有學(xué)生提出這種解法，教師該如何幫助學(xué)生理解算式的意義呢？解決這一問題，就需要借助圖形直觀。教師可先畫圖1，引導(dǎo)學(xué)生理解330÷5表示每副羽毛球拍多少錢；再畫圖2與之比較，學(xué)生則能直觀地看出330÷2表示：5副羽毛球拍各1支花了多少錢，即5支球拍多少錢。借助圖形直觀，學(xué)生就不難理解第三種解法的意義。

再看“平面幾何圖形的面積”，就建立“長方形的面積”的表象而言，學(xué)生不難直觀地從方格圖中看出：長方形的面積是單位長度與單位寬度之積，即S=ab。同樣的道理，學(xué)生也可以從“剪拼”中得知：三角形的面積是等底等高平行四邊形面積的一半，即S=ah÷2。但是，怎樣幫助學(xué)生建立“圓的面積”的概念表象？教師可以以圓的半徑為邊長畫一個正方形（圖3），讓學(xué)生直觀地看出：r2與圓面積的大小關(guān)系；再畫圖4，讓學(xué)生比較2r2與圓面積的大小關(guān)系；最后畫圖5，讓學(xué)生比較“4r2與圓面積的大小關(guān)系。從這種直觀中有邏輯、邏輯中有直觀的比較中，學(xué)生不難理解、想象2r2<圓的面積<4r2，為進(jìn)一步把圓剪拼成近似的長方形、平行四邊形、三角形等，推導(dǎo)圓的面積公式S=πr2架設(shè)腳手架。

2.在“無形”中想象數(shù)學(xué)

圖形直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著重要作用，但是并非所有的數(shù)學(xué)知識都可以用直觀的圖像呈現(xiàn)其“全貌”。基于此，教師要善于用“有形”的語言彌補“無形”的圖像之局限。如學(xué)習(xí)“線段、射線、直線”時，教師可以在黑板上畫出一定長度的線段。然而，無限長的直線、射線的圖像卻受制于有限的黑板平面，無法做到“無限”延長。對此，教師可以用形象的語言加以描述，以彌補“局部”圖像之不足：“把線段的一端無限延長，線段的一端會超出我們的黑板平面，會跑出我們的教室，會穿過樓房、大山……我們找不到它的盡頭，看不到它的端點，這樣延長，線段就變成了射線。同樣的道理，把線段的兩端無限延長，線段的兩端也都會超出黑板、跑出教室、穿過樓房……我們也找不到它們的盡頭，這樣延長，線段就變成了直線”[2]。

有形或無形的幾何圖形存在于人們的思想意識之中，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，也只有教師適時、有度地呈現(xiàn)其“形”，才能更好地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，發(fā)展其幾何直觀意識和能力。

二、 “畫圖”分析，為培養(yǎng)能力提供支持

畫圖能力是幾何直觀能力之一。對此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》認(rèn)為：一方面，要在教學(xué)中幫助學(xué)生逐步養(yǎng)成畫圖習(xí)慣；另一方面，要讓學(xué)生掌握、運用一些基本圖形解決問題。但在教學(xué)實踐中學(xué)畫圖，運用圖形描述問題、分析問題和解決問題的情況并不直觀。學(xué)生畫圖、運用圖形的自覺性與習(xí)慣亟待培養(yǎng)。如何培養(yǎng)呢？

1.著眼于單元學(xué)習(xí)，指導(dǎo)學(xué)生“畫圖”

現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材，均以單元為單位編排數(shù)學(xué)課程內(nèi)容。在各個單元的學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)有的放矢地培養(yǎng)學(xué)生的畫圖技能和運用圖形的習(xí)慣。如長（正）方體圖形的“拼切”問題（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊）：①三個棱長3厘米的正方體拼成一個長方體，長方體的表面積是多少平方厘米？②三個完全一樣的正方體拼成一個長方體后表面積是126平方厘米，每個正方體的表面積是多少平方厘米？有的學(xué)生簡單地認(rèn)為這是幾個立體圖形的加減，這種方向性的錯誤，導(dǎo)致作業(yè)時頻頻出現(xiàn)錯誤。第①題，常見的錯誤解法是“3×3×6×3”。此題，一旦教師以直觀圖形（圖6）的形式呈現(xiàn)出來，學(xué)生的解題錯誤率便明顯下降。同樣，解決第②題，教師指導(dǎo)學(xué)生畫圖（圖7）分析，能在一定程度上避免126÷3這樣的錯誤解法出現(xiàn)。本單元指導(dǎo)學(xué)生運用圖形分析問題、解決問題，將直接影響后續(xù)學(xué)習(xí)和解決有關(guān)“圓柱與圓錐”（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊）的問題。再如，解決“分?jǐn)?shù)乘、除法”問題時，教師可指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題情境，找準(zhǔn)單位“1”，畫線段圖分析“量”“率”對應(yīng)關(guān)系，尋找解決問題策略。那么，后續(xù)遇到解決“百分?jǐn)?shù)乘、除法”問題時，就會自然而然地喚醒學(xué)生借助線段圖幫助分析問題、解決問題的經(jīng)驗與意識。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，教師應(yīng)根據(jù)教材特點與學(xué)生實際，有意識地指導(dǎo)學(xué)生掌握一些基本的畫圖技能，使之形成運用圖形的習(xí)慣，以強(qiáng)化其幾何直觀意識與能力，為其學(xué)好數(shù)學(xué)提供幫助，為其解決數(shù)學(xué)問題提供支持。

2.著手于平時作業(yè)，誘導(dǎo)學(xué)生“畫圖”

人的某種意識或習(xí)慣并非與生俱來，學(xué)生形成畫圖、運用圖形分析問題與解決問題的意識亦如此。基于這一認(rèn)識，教師應(yīng)有意識地口頭或書面提醒學(xué)生自覺地“畫圖”分析問題，使之養(yǎng)成習(xí)慣。如以下這兩道題：①一個長35米，寬24米的長方形果園。如果每棵果樹占地3平方米，這個果園一共可以栽多少棵果樹？②用一張長9厘米，寬6厘米的長方形紙剪圓片，圓片的半徑是1.5厘米，可以剪多少個？此二題，“形似而神不似”。一些學(xué)生解決第②題的思路，常常受到第①題的影響，誤以為本題解決的是“長方形面積中含有幾個圓面積”，因此出現(xiàn)錯誤的做法：（9×6）÷（3.14×1.52）≈8（個）；如果教師提示并引導(dǎo)學(xué)生畫圖幫助分析，則不難得知解決這個問題要看“長方形的長含有幾個圓的直徑，寬含有幾個圓的直徑”，所剪的圓片數(shù)量為“[（9÷（1.5×2）]×[6÷（1.5×2）]=6（個）”。諸如此類，還有“圓周長的一半”與“半圓的周長”、“增加了”與“增加到”、“減少了”與“減少到”等似是而非的概念問題，教師要有足夠的預(yù)見性，有意識地提醒學(xué)生運用圖形，使之深切體會到圖形直觀的作用與價值。

圖形直觀是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決問題的“拐杖”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中只有教師根據(jù)教材特點與學(xué)生實際有效地示范導(dǎo)學(xué)，才能為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供保障，只有教師正確引導(dǎo)學(xué)生自覺地運用，才能為培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識與能力提供可能。

參考文獻(xiàn)

[1] 李玲玲.試談“圖形直觀”的表現(xiàn)形式及教學(xué)策略[J].教學(xué)與管理，2013（23）.

[2] 徐恒祥.“擦掉端點”不妥——由“線段、射線、直線之間的關(guān)系”案例引發(fā)的隨想[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)版，2015（1-2）.

【責(zé)任編輯：陳國慶】