對某地高職升本高數0715的結果存疑研究

陶印修

【摘要】本市高職升本復習指南高數教材中第103頁的第10題，即關于兩向量夾角的一個例題展開研究。之所以關注此題是因為，不僅該教材對此題的解法中未發現（舍去）增解而有問題，而且更為嚴重的問題是本市高職升本2007年高數第15題（簡寫為0715）的答案也多了一個增解。強調兩向量夾角的唯一性，解題時應注意細節，分析增解產生的原因，介紹不產生增解的解法。最后用完善與完美兩種解法來正確解答本市高職升本復習指南高數教材中第103頁的第10題。

【關鍵詞】本市高職升本高數0715，兩向量的夾角，舍去增解

一、兩向量夾角的唯一性

1.兩向量的夾角定義

2.兩向量夾角的唯一性

二、數量積關于夾角公式

由于余弦在第一象限為正，余弦在第二象限為負，故通常用數量積求兩向量的夾角，即求兩向量的夾角公式為：

三、模仿[1]中的解法解0715

1.0715與答案

（精通學院給出的答案與網上查到的答案均是此答案）。

2.模仿[1]中的解法解0715

下面模仿[1]（本市高職升本復習指南高數教材）中第103頁的第10題的解法解0715。

四、對模仿[1]中的解法解0715的存疑研究

1.模仿[1]中的解法解0715應注意的細節

2.模仿[1]中的解法解0715應注意增解的產生

3.模仿[1]中的解法解0715的完善解法

五、完美（創新）解法解0715

下面用不產生增解的方法解0715。由方程（2）乘8加方程（1）乘15得：

六、[1]中第103頁的第10題的完善、完美解法

1.[1]中第103頁的第10題

最后需要說明，由于向量部分比較抽象，這也許是[1]中第103頁的第10題的解題過程忽視了細節，導致產生了增解，致使0715的答案也多了一個增解（精通學院給出的答案也如此）。