活用變式教學巧建數學模型

蔣南慶

一、緣起

初中生在學習數學時，思維的發散能力往往欠缺，對于知識的遷移能力也弱，更談不上舉一反三了.因此教學中常常發現學生重復犯錯，老師強調的內容還是不會做或者做錯.其實，出現這些情況，緣于在平時的教學中，師生沒有及時地總結數學模型.將數學知識轉化成數學模型是完成知識遷移的關鍵環節.

《課程標準》對數學建模提出了明確的要求：強調“從學生已有的經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象為數學模型并進行解析與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度和價值觀方面得到進步和發展”. 根據這一要求，教師要有目標、有層次、有變化地設計教學，適時引導學生將問題模型化，求解，證實，再解決，進而提高數學意識和數學應用能力.并潛移默化地促進學生的學習興趣、創新精神.

二、教學片斷

秉承“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的教學模式開展教學活動，并在引導學生學會數學建模，在應用新知識解決實際問題的過程中，培養學生的語言表達、綜合思維和分析、解決問題的多種能力，取得了較好的成效.

片斷1：變一題，通一片

1.如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，CF∥AB，交AD延長線于F點，則△是等腰三角形.

變式一如圖2，在△ABC中，AD平分∠BAC，BF∥AD，交CA延長線于F點，則△是等腰三角形.

兩個小題解決后，教師不失時機地追問：請同學們想一想，剛才我們做的兩道題有沒有什么共同特點？學生甲：好像都有角平分線和平行線.教師：觀察很仔細.學生乙：都能找到等腰三角形.教師點撥：那么這里出現一個什么巧妙的圖形組合呢？

片斷2：變一變，滲透通性通法

2.如圖3，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn-1An都是等腰直角三角形，點P1，P2，P3，…，Pn在函數y=4x （x>0）的圖象上，斜邊OA1，A1A2，A2A3，…，An-1An都在x軸上，則點A1的坐標是，點A2的坐標是，點A2006的坐標是.

此題的模型構建，需要遵循“特殊”——“一般”的化歸思想.求A1，A2就是特殊點，利用形表示出P2點的坐標（4+m，m），再將該點代人解析式可得關于m的方程.余下的點用同樣方法求得，最后找規律求得P2006的坐標.解決這個問題用到了很多的數學思想方法：數形結合，方程，化歸等.教師重點是幫助他們構建數形結合的數學模型，即“利用形表示點坐標”——“利用數求得點坐標”.并能夠深切體會它的妙用.教師緊跟兩個變式.

變式一若正△P1OA1與正△P2A1A2，頂點P1，P2在圖象上，求A2點的坐標.

變式二若正方形ABCO和正方形DEFA的頂點B，E在圖象上.求E點的坐標.

兩個變式把幾何背景變成了等邊三角形和正方形.變式旨在讓學生掌握數形結合的本質方法.會把初步概括的模型，深入應用.經過一段時間的思考，學生自然體會到“數形結合”模型的妙處，果然可以活學活用.不難發現，這樣的方法在這里仍然適用，而且恰到好處.經過兩個變式的鞏固，學生進一步掌握了“利用形表示點坐標”——“利用數求得點坐標”的模型.

三、結語

初中生的發散思維欠缺，舉一反三的能力較弱，對知識的遷移能力和應變能力也不強；思維雖活躍，但深度和廣度都不夠，而運用變式手法恰好是訓練和培養學生思維的最佳手段，能夠順利有效的強化數學模型.數學建模應提倡學生主動參與，讓學生親身經歷建模的過程，自主完善模型.這樣做能使學生興趣濃、印象深，對于自己的勞動成果充滿自豪感.以后涉及相關的習題時，學生往往自覺地應用所學的數學模型、規律.學生思維活躍，教學效果事半功倍.

數學模型有著“以不變應萬變”的功效，讓學生體會學習數學的樂趣.“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”.學生的思維是“清渠”，而數學模型是源頭的“活水”.希望我們能用活水滋潤清渠常流不息.