數形結合妙解數學難題

陸蕓婷

隨著課程改革的不斷深入，要求老師在教學中不僅僅要提高學生的數學成績，也要注重培養學生的數學思想.而在初中的學習階段，數形結合就是一種極其重要的數學思想，對學生的解題能力的提升有十分巨大的作用.數形結合的應用大致可以分為兩種情況.一是利用數的精確準確性質來表現形當中的某些特征或屬性，這就是用“數”來解釋“形”；二是利用形的直觀性簡潔明了的特征來描述數與數之間的某種特定聯系，這就是用“形”來幫助“數”.筆者具有多年初中數學教學經驗，對如何在課堂教學中以及習題訓練中培養學生的數形結合思想具有一定的研究，下面談一談自己的幾點心得體會，不足之處，敬請斧正.

一、不等分析，妙求解集

在數學教學中，作為老師我們不應該只是將數學知識傳授給學生，而是應該盡自己最大的能力讓自己的學生養成某種合適的方便的簡潔的解題習慣.數形結合的思想就是一種不錯的選澤，老師要學會在教學中滲透數形結合思想，使學生能夠利用這一思想為自己解題謀求最大的便利.

數形結合應用范圍十分廣泛，對各類題型的解題都有一定的幫助，尤其是在不等式的相關問題中，更能起到意想不到的作用，能夠幫助學生快速分析題目，對提高學生的解題速度大有益處，取得良好的效果.例如，當我們在學習解絕對值不等式這部分知識時，同學們都會遇到這樣的題目：不等式|x+2|+|x-3|>5的解集是.這是一道常見的數形結合的題目，在解題之前我們一定要弄清楚絕對值的幾何意義.數軸上表示數x的點離開原點的距離，就記作|x|.那么同理|x+2|就表示數x的點和數-2的點的距離，在學生弄清楚這些之后再進行題目分析.當遇到這種題目，學生的第一想法都應該是數形結合，根據已知條件畫出數軸再進行下一步考慮，如下圖所示.在數軸上我們可以看出，-2與3的距離就是5，所以點x不能出現在-2和3之間，也包括-2和3這兩個點.所以x只能出現在-2點的左側以及3點的右側，只有這樣不等式才會成立，故而原不等式的解集就是x>3或x<-2.通過這種方法我們可以看出，數軸的畫出使問題的求解方向十分明確，x點的位置被-2和3這兩個點分為三段，學生只要依次進行考慮即可，出錯概率會大大降低.當然還有一點要注意，那就是-2和3這兩個點，有的同學總是忽略這兩個點的存在，對于大于號和大于等于號或者小于號和小于等于號分不清楚，導致解題失敗，這種情況一定要避免.

通過數形結合的方法，使得求解解集的題目變得異常簡單，學生理解起來也會十分容易.掌握熟練的同學還能在其中發現數形結合之美，在各類題型中總會不自覺地將其應用，提高自己的解題能力.

二、函數關系，巧求范圍

函數問題由于具有抽象性，所以對于初中生來說掌握起來是較為困難的，需要學生擁有強大的空間想象力，才能夠將這部分知識掌握透徹.所以當老師在講解函數部分知識時，一定要放慢速度，關注學生的掌握情況，通過老師不斷的努力幫助學生打好函數的基礎，以便將來在中考中取得佳績.

在學習過程中，學生們就會發現函數關系與圖象是同時存在的，所以在解決函數的相關問題時，很容易聯想到采用數形結合的方法，但是當遇到具體的題目時，還是需要根據題意一步一步地解決.很多學生只要看出是采用數形結合的方法解題之后，就不再動手去計算去求解，這是一種錯誤的學習方式，需要老師去提醒糾正.例如，老師在習題訓練課中都會給同學們布置這樣的作業：如果方程4x2-2x+k=0的一個根大于-3并且小于1，另一個根大于1并且小于3，請求出k值的取值范圍.很明顯這道題可以與函數的知識相聯系起來，我們可以設y=4x2-2x+k，之后簡要畫出其函數圖象，再根據已知內容進行求解，如圖2所示.根據題干中的兩根情況，再結合圖象中的位置關系，我們可以得到這樣一個方程組：即y（x=-3）>0、y（x=1）<0、y（x=3）>0.將數據代入其中，就可以得出-30

通過函數的構造并且與函數圖象相結合，再利用已知條件，可以創造合適的解決問題的方法，使復雜難懂的問題得到簡化，學生分析起來也會十分輕松，有利于學生快速尋到答案.

三、幾何證明，速證大小

幾何問題也是初中學習的重點內容，在各年中考題目中都會有所體現，所以老師也要加強學生幾何問題的分析能力，為取勝中考奠定基礎.在幾何的學習中，證明問題一直是學生的弱項，老師也要想方設法提高學生的證明能力，而在有些題型中也可以應用數形結合的思想，幫助學生分析幾何難題.

幾何證明題的種類繁多，學生在進行中考之前一定都進行過大量的習題訓練，都有一定的解題經驗.其中有一部分證明題可以利用數形結合的思想來解決，需要老師引起注意，提醒學生對這類題目一定要重點把握，尤其是這種解題思維更要熟記于心.例如，在總復習的過程中，很多同學都會練習到這樣的題目：如圖3所示，有一個正方形ABCD，過其頂點C任意作一條直線，并且分別與AB、AD的延長線交于點E和點F.求證：AE+AF≥4AB.

乍一看題目，給出的是圖形，卻要我們證明數量關系，很多同學都會覺得無從下手.但是如果同學們仔細分析，就可以發現需要在數的方向進行求解.根據題意，這是一道證明數量關系的題目，所以我們要選擇從“數”的方面下手.首先設AB=a，AE=m，AF=n，再連結AC.由圖可知，三角形AEF的面積為三角形AEC和三角形AFC二者之和，由此可以列出式子，即12mn=12am+12an，所以mn=a（m+n）.接下來，我們可以設m+n=p，而mn=ap，所以m和n是方程x2-px+ap=0的兩個根.再加上m和n肯定為實數，并且p>0，所以Δ=p2-4ap≥0，即p≥4a，所以m+n≥4a，這樣AE+AF≥4AB就得到了證明.

這道題目與之前的兩道題就有明顯的不同，前兩道題目都是在“數”的方面的進行分析比較難以下手，所以選擇以“形”為突破口.而這道題則是直接在“形”的方面進行分析難以下手，進而才選擇在“數”的方面作為突破口.這就是數形結合思想在解題中應用的兩種方式，需要同學們都能夠掌握清楚.

本文主要討論數形結合思想在不等式、函數以及幾何問題中的應用情況，需要老師引導學生對數形結合的思想有一個正確的認識.在解題過程中，注意培養學生養成良好的學習習慣，讓學生形成正確的慣性思維，使其能夠為自己的解題提供方便.