經歷探究過程，促進數學理解

黃陽斌

“長方形的面積”是學生學習平面圖形面積計算的起始課，是后續學習平行四邊形、三角形、圓等平面圖形面積計算的基礎。課前調查學情，發現部分學生雖然知道長乘寬等于長方形的面積，但是說不清為什么，說明學生只是知其然但不知其所以然。《義務教育數學課程標準（2011）》提出：教學中要結合具體的學習內容，設計有效的數學探究活動，使學生經歷數學的發生發展過程，是學生積累數學活動經驗的重要途徑。因此，基于《課程標準》以及學情，筆者將簡潔的數格子環節引入課堂，讓學生在數格子的過程中經歷長方形面積計算公式的形成過程，讓長乘寬有現實意義的具體表象加以支撐，使學生對“長方形的面積等于長乘寬”這一結論不僅知其然，更能知其所以然。下面，筆者擷取三個教學片段，嘗試分析如何促進學生真正理解“長乘寬等于長方形的面積”。

一、積累認知經驗，促進初步理解

教育家弗賴登塔爾認為：數學學習不是一個被動的吸引過程，而是一個以學生原有的知識和經驗為基礎的主動建構過程。建構主義也認為：學習是學生經驗體系在一定環境中自內而外的生長，是以學生原有的知識經驗為基礎實現知識的建構。因此，尊重、喚醒學生原有的認知和經驗，一定程度上決定了學生能否初步理解數學新知。

在“長方形的面積”一課的導入環節，教師先是設計測量鉛筆的活動（圖1），讓學生說一說“如何知道鉛筆的長度，應選擇什么單位的尺子”，以此喚醒學生知識結構中關于長度測量的部分，以及“含有幾個長度單位即它的長度”。緊接著課件出示一幅組合圖形（圖2），同樣讓學生選擇面積單位進行測量，并在擺、數的操作中類比發現“6個1平方厘米的小方格，它的面積就是6平方厘米”。初步體會到面積測量以及長度測量中單位累加這一相通點，這也是測量的本質。在知識、思想、方法等角度為學生理解新知做好鋪墊之后，教師提出：“今天就是要用擺一擺、數一數的方法研究長方形的面積。”自然地開啟新課之旅。

在教學中，教師要挖掘并喚醒學生在知識、技能及思想方法方面的生長點，找到新舊知識間的內在聯系，這是新知教學的根。引導學生在學習過程中將新舊知識串聯起來，努力實現新舊知識的同化，有利于學生感受數學的整體性并改善知識體系，自然也就更易達到對數學知識的理解。

二、材料引發思維，促進深刻理解

教學中，一致的學習材料易使學生學習過程同類化，思維過程單一化，不利于學生認知、理解數學新知。而多樣、有限的學習材料能增加學生思維的挑戰性，給予足夠的思維空間，更易倒逼出思維的多樣性，激發出更強的學習動力。

在“長方形的面積”一課的探究環節，課前教師準備了不同數量的方格，有的是12個，有的是7個，有的只有3個，隨機分發給學生。出示1號長方形（長4厘米、寬3厘米），由學生利用分發的方格動手擺一擺，探究長方形的面積。在材料的限制下，活動展開后有學生說格子不夠擺不了。教師引導學生：“你能想辦法用手中的方格數出長方形的面積嗎？”在“迫于無奈”的情境下，激發學生的潛能，讓他們想方設法通過擺一擺得到長方形的面積。

教師通過巡視搜集三幅典型作品（圖3～5），同時有序呈現，展開全班展示交流環節。在交流中，學生都能用乘法算式4×3=12來具體解釋長方形的面積。學生要達到對“長方形面積=長×寬”的真正理解，必須能夠建立起“長”與“一行擺幾個”，以及“寬”與“擺幾行”的對應關系。于是在交流中教師及時追問：“怎樣想到這個算式，具體說說這個算式表示什么？”并根據學生的交流在板書上將“4×3=12”與“一行擺幾個×擺幾行=長方形的面積”對應起來，使得學生對這一對應關系的理解越來越清晰。但是探究環節并沒有就此結束，教師創設了“想象鋪”的環節，讓學生從“有材料”走向“無材料”的思維活動，以思維活動代替動手操作，進一步增加了思維的挑戰性。學生面對的是一個沒有格子圖可擺也沒有標注數據的長方形，他們因想象不出鋪格子圖情境從而產生認知困難，進而產生“需要長和寬的數據”的學習需求，以及“有了長和寬就能知道一行擺幾個，能擺幾行”的思維活動。使得學生認識到有了長就能知道一行擺幾個，有了寬就知道能擺幾行，再次強化兩者間的對應關系，更是逐步逼近對“長×寬=面積”這一結論的理解，進一步深化學習理解。

課堂中，教師通過操作探究、交流反饋、溝通提升等教學環節，學生經歷“動手鋪”“想象鋪”“想算法”的活動，他們的思維層次從動手操作到形成表象，最后到深層思維，逐步逼近理解“長×寬=面積”的本質，讓不同思維水平的學生都能夠慢慢理解“長×寬”的道理所在。

三、巧用錯誤生成，促進準確理解

學生在學習過程中，生成的各種錯誤往往能暴露出他們在新知的理解過程中存在的困惑及疑難之處。在教學中，教師要充分利用這一寶貴資源，敢于亮出學生典型的錯誤，通過對錯誤案例的交流與辨析，突破探究學習中的瓶頸，促進學生準確理解數學知識。

在“長方形的面積”一課中，在學習了長方形的面積計算規則后，筆者設計了一道求面積的練習題（分別有長方形和正方形）。目的在于將探究正方形面積環節置于練習應用中，讓學生充分調動知識結構中已有的知識（正方形的特征，長方形與正方形的關系），嘗試計算正方形的面積并形成正方形面積計算公式。但在實際教學中與筆者的設想出入較大，在解釋應用中有近半學生將正方形面積錯算成周長。

分析原因，學生受到其自身知識結構中有關長方形周長的舊知干擾，使得周長計算與面積計算辨析度模糊。依據這一原因，筆者在教學中同時呈現15×4=60和15×15=225兩種算法，組織學生在小組內針對兩種算法發表自己的觀點及理由，進而在全班交流對話、辨析。有的學生指出15×4計算的是4條邊長的和即周長；有的學生用擺格子（一行擺15個，擺15行）的方式來解釋；有的學生說到正方形是特殊的長方形，就用長方形面積計算公式進行計算。對正方形面積計算中錯誤生成的充分利用，既復習了正方形是特殊的長方形及周長、面積的異同，又提煉出正方形的面積計算方法，深化對“每行擺幾個、擺幾行”的認識，進一步強化學生對長方形面積計算的理解。

以改建、完善知識體系為著眼點，以發現探究、經歷知識形成過程為學習方式，及時排除學習過程中的認知困難，依此習得的長方形面積公式是具有強大生命力的，是結構化、系統化的。學生經歷此過程真正地知其然且知其所以然。

（作者單位：福建省晉江市深滬中心小學 本專輯責任編輯：王彬）