走向發現，從算法多樣化到算法優化

吳素梅

一、緣起

在同課異構“兩位數乘兩位數筆算”中發現，一些教師對計算教學已形成一般流程：“導入→探究→交流→優化→拓展”。筆者明顯感覺到幾個共性問題：一是算法多樣比較粗糙，流于形式；二是教師預設的方法不出現便不罷休，“逼”出算法；三是思維挑戰性不強，盲目優化。

對學生而言，本節課教學目標定位在哪里？在鼓勵算法多樣化的同時如何正確處理“多樣化”與“優化”之間的關系？筆者帶著這些問題，對“兩位數乘兩位數筆算”的教學進行了如下的思考與實踐。

二、思考

提倡算法多樣化的目標之一是培養運算能力，它要求學生在計算過程中理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。可以概括為：理解算理、發現算法，重在運算的道理及算法的發現。我們強調優化，就是要從探討算法多樣化的過程中，創設認知沖突，讓學生經歷一個獨立思考、自主學習、合作交流與思維碰撞的創新過程，從而走向發現，讓其中蘊含的思考價值熠熠生輝。理念更新，教師有必要從兩個層面上做到教學策略的改變。

第一層面，善于發現學生。教師需改變傳統說教觀，主動觀察學生，關注到每位學生，挖掘學生的潛能，放手讓學生在課堂上分享、交流，算法多樣“呼之欲出”。

心理學研究發現：影響學生學習質量的因素除了教師及課程的因素外，學習者自身的因素亦不容忽視，以生為本，是課堂教學的出發點。

學生的思維是有不同層次的，能力強的學生思維層次高，能直接抓住問題的本質，能力弱的學生正好相反。教師在課堂教學中要根據不同學生的學情和個性差異實施分層教學，鼓勵不同的學生從不同的角度認識問題，嘗試用不同的方式表達自己的想法，提升用不同的知識與方法解決實際問題的能力。教師在組織教學活動時，既要尊重學生的個性差異，關注學生獨立思考的過程與方法，又要讓學生積極參與互動，讓學生學會合作與交流，學會分享和展示自我。

第二層面，善于引導學生發現。以自己對學生生成的發現，促進學生的自我發現，從而引發彼此的發現，算法優化“水到渠成”。

“算法多樣化”不是單純的方法多樣，不是以多代優或一味求多，而是學生在教師的引導下通過多種方法的感受、體驗、對比，發現規律，生成算法，在互動交流中明晰算理，有意識地使方法更加優化或較優化的過程。

教師不能代替學生思考，不能直接主導學生按自己的想法進行操作，只有放手讓學生做了、說了，才知道會出現怎樣的情況，我們只能做好充分的準備，面對課堂上的各種生成。鼓勵課堂生成，培養學生良好的思維習慣，促成其發現問題、解決問題能力的發展不是一蹴而就的，需要一個長期的過程。即便學生提出的方法有的只停留在表層，抑或繁瑣或不夠全面，這時需要發揮教師“點石成金”般的引導作用，促其親身經歷由點到面、由淺入深、由繁到簡的習得過程，在探究中發現規律，悟出方法。

三、實踐

（一）情境導入，感受需要

授課時，利用主題圖，讓學生尋找有效數學信息（每套書有14本，王老師買了12套。一共買了多少本）并初步交流各種想法，如估算、筆算等。接著教師重點引導學生小組合作（14×12，你會計算嗎？把你的方法試著用點子圖表示出來）。教學新方法，應從實際的需要出發，使數目的計算有相當的依據，無意義的問題不選用。操作方法：利用點子圖（橫14個，豎12個），請學生數一數、想一想、圈一圈，嘗試計算。目的是喚起學生對兩位數乘一位數，兩位數乘整十數口算的原有認知經驗。

（二）積極尋找，生成算法

算法是需要在學生尋找、發現的過程中產生的。

學生自主嘗試后，組織反饋。結合點子圖學生會出現多種算法，教師有意識地進行了分類（圖1），引導學生發現：A、B、C、D、E五種方法都是把其中一個因數拆分之后，轉化成了以前學過的算式。學生的發言是積極的，他們很快就會發現這些方法都是基于“先分后合”。學生感受到分開以后，數變小了，就會算了，實際上就是把兩位數乘兩位數轉化成兩位數乘一位數的乘法。那么，哪種方法與其他方法有明顯不同呢？學生們通過觀察、比較，很容易就會發現方法D不同，是先求10套幾本，再求2套幾本，最后求出12套的本數，教師對方法D做重點評析，目的是為后續豎式計算的教學及明晰算理做好鋪墊，在比較過程中培養學生的分析能力和優化意識。到此，一部分學生自然想到了用豎式的方法來計算，應怎樣用豎式進行計算，學生的探究熱情已然高漲。

（三）激發思維，內化算理

算法即運算途徑，即基于算理，能使運算合理簡潔進行的方法。也就是說，無論心算、口算、筆算，或面對整數、小數、分數等，任何算法及其變化、演進、技巧，均基于算理。運算能力是由算理到算法，從算的“慢、笨”到“快、巧”的探索過程中逐步形成的。只有算理的內化才能促成算法的真正形成，教師要做的是激發學生思維，積極投入方法的探究過程。

學生生成的多種算法，它們與豎式有聯系嗎？有什么樣的聯系呢？教師要尊重學生，讓學生多想、多動、多說，思維進一步深入。學生思考：14×4×3、14×3×4、14×2×6、14×6×2、14×10+14×2和14×5+14×5+14×2等。其中哪種方法能恰當地體現豎式的計算過程？教師再次引導學生結合點子圖，說一說豎式計算的每一步依據，在學生已經初步掌握豎式計算方法的基礎上，利用直觀的點子圖，使學生留下清晰的思維軌跡，使學生反饋的學習成果得以證明。（圖2）學生計算的方法不完全相同，但乘法豎式計算的基本思路形成了。從而讓學生進一步理解了計算的道理，促成算理的內化。

（四）引導發現，優化算法

算法確立的標準是建立在比較基礎上的合理與簡約，在比較中“探索→總結→運用→拓展”。

首先是基于算理解決問題，引導學生對橫式與豎式建立聯系，然后把得到的豎式進行比較，最后得到基于位值的一般豎式算法。（圖3）有時學生的錯誤給課堂提供了很好的學習資源，教師要研究錯誤的產生，通過一起分析，一起比較，引起高度重視，避免計算時再次出錯。例如，教師指出：“剛才有位同學算14×12得到的積是42，你知道他錯在哪里了嗎？”通過讓學生糾錯的辦法來確定算法，也未嘗不是好辦法。

四、反思

引導學生尋找和發現，并不是一種比講授更復雜的教學方式。只要給學生留出較充分的探索空間，教師再多一些恰當引導，每個算法都可能被學生找到。從學生的全面發展、健康成長出發思考計算能力的培養問題，我們要努力做到以下“三適”。

（一）適度失控

算法是技能，是經過尋找、發現得到的技能。我們大部分時候都不放心學生，于是，學生在課堂上的每個時間點、每個節點上要干什么，我們都規定得特別詳細，這樣的教學設計讓學生失去了自主發展的空間。只有讓學生的思維開放，產生碰撞，從求異思維中進一步找尋計算的一般方法，形成基本的運算技能，才能走向深度教育。教師要給學生更多的時間、空間，搭建適度失控的開放性平臺，讓學生在課堂上盡可能地施展才能。

（二）適當點撥

提倡算法多樣化，課堂上的適當點撥最為重要。課堂上學生的生成形式多樣，要求教師善于捕捉其中有價值的內容，揣摩學生思路，洞悉真實想法，進而適當地加以點撥，引導他們講清自己的算法。算法多樣化是寶貴的課堂生成性資源，既是師生互動，也是生生互動的產物，它離不開教師在其間發揮的重要作用。

（三）適時優化

計算教學，教師要重視引導學生探索計算的過程。當學生呈現多種算法后，教師不要急于評價某種方法的優劣，而是適時引導自主體驗，讓他們沉浸于數學課堂，在尋覓、還原最簡單直觀的道理和方法的過程中，使算理和算法融為一體，提高思維的深刻性。教師要瞻前顧后，找準時機，讓學生在不同的情況下學會靈活選擇恰當的方法。

（作者單位：福建省閩清縣白中鎮中心小學）