提升小學生數學概括能力的有效策略

孫保華

林崇德說過：“不管是智力還是能力，其核心成分是思維，最基本特征是概括。”小學數學的許多知識都是抽象概括的產物。學生認識這些知識，必須經歷一個“形象—表象—抽象”的復雜心理活動過程，即要經歷把外部形象的感知材料經過頭腦的思維加工，轉化為內部心理的認識過程。在數學教學中，教師應根據學生思維發展水平和概念的發展過程，逐步發展學生的概括能力。

一、 認清過程——成竹在心

概括能力是在對數學事實感知的基礎上，通過對相應數量關系與空間形式本質屬性和內在聯系進行抽象概括而形成的。小學生數學概括能力的形成與發展一般要經歷以下四個心理過程。

1.感知事實

感知數學事實指通過對數學內容的觀察、操作和實驗等，對具體的數學事實獲得感性認識的活動。小學數學中的數學事實具有直觀性的特點，一般包括具有數學題材的事物、圖像、文字、圖示及數學符號等。在數學學習中要對具體的數學事實進行感知，為抽象概括提供依據。如在乘法結合律的學習中發展學生的概括能力，首先必須對符合乘法結合律的一些算式進行觀察感知，發現這些算式的共同特點，對其普遍規律獲得直觀體驗，為抽象概括打下基礎。

2.分析抽象

數學中的分析抽象同概括聯系十分緊密，通常是通過分析個別事物的個別屬性獲得認識，在此基礎上對同一類事物的本質屬性獲得認識，并進一步區分出哪些是事物共同的、本質的屬性，為將這些本質屬性推廣到同類事物中去打下基礎。例如，認識平行四邊形，首先要觀察生活中的平行四邊形物體，抽象出平行四邊形的幾何圖形，然后對平行四邊形進行分析抽象，發現每個平行四邊形都有兩組對邊平行且相等，相對的角都相等。

3.概括結論

在分析抽象的基礎上，需要把具有相同本質屬性的事物聯合起來形成數學結論（如概念、性質、法則、公式等），并用數學語言（文字語言、圖形語言或符號語言）表達出來，實現對事物本質屬性的概括，同時為更高層次的概括提供分析抽象的基礎。如在認識三角形的學習中，通過分析發現三角形都是由三條線段圍成的圖形，從而概括出“由三條線段首尾相接圍成的圖形叫三角形”這一數學結論。這一步不但揭示了三角形的本質屬性，也促進了學生概括能力的發展。

4.推廣遷移

概括能力的形成與發展是具有漸進性和層次性的。當學生通過對個別事物的分析抽象概括出事物的本質屬性后，還會進一步在更大范圍內尋找同類事物的內在聯系，并將這些本質屬性推廣到同類事物中去，進行更加廣泛的遷移活動，形成包容范圍更大、層次更高的概括化的數學結論，讓學生伴隨著這種過程促進自身概括能力的形成與發展。如結合整數中加法和乘法運算的學習概括出了加法交換律、結合律和乘法交換律、結合律及分配律，讓學生發現在小數、分數運算中同樣可以應用這些運算定律，由此把這些運算定律由整數運算推廣到小數、分數的運算中去，從而實現更大范圍的概括。

二、 尋求策略——有的放矢

概括能力是數學能力的核心，沒有數學上的概括就無法獲取數學知識，也就不能促進其他數學能力的發展。教師在教學過中必須遵循小學生的認知規律，耐心尋求最科學、最準確、最有效的策略，來引導學生參與抽象概括的全過程。

1.典型材料，發現本質

小學生概括能力的形成與發展是以對感性材料的觀察、操作為基礎，通過不斷抽象概括而逐步形成與發展的，為學生提供有利于抽象概括的典型材料是概括能力形成與發展的重要條件。因此，在教學中，要為學生提供充分反映事物本質特征和內在聯系的典型材料，獲得對這些典型材料的感知和理解，引導學生探究，從而發現其本質屬性和聯系。如學完分數乘法后，出示如下這道題：

先計算，再觀察每組算式的得數，能發現什么規律？

將上面兩組算式（左右對應的兩個算式為一組）作為感性材料，讓學生在計算中發現：分母是相鄰的非零自然數，而分子都是1的兩個分數，它們的差等于它們的積。

教學中要注意兩點：一是力戒一例一結，不要僅舉一個例子就總結出一個結論，而應盡量多舉幾個有代表性的例子，讓學生充分發現其共同屬性再下結論。二是力避一展就收，不要一展示出事物的本質屬性，就馬上下結論，而應讓其本質屬性充分展示出來，甚至要故意夸張，讓學生充分感知，再下結論，這樣才能水到渠成。

2.掌握方法，準確概括

（1）提問法——概括的邏輯性。數學概念具有一定的邏輯結構和順序。給概念下定義，通常用“屬加種差”的方法。一般是先找到它鄰近的屬，再找到其特有的種差。例如，教學梯形，可設計這樣的問題引導學生思考：這些圖形是幾邊形？對邊是怎樣的？有幾組對邊分別平行？在此基礎上，引導學生把這些結論合起來，用準確的數學語言概括歸納出梯形的定義：只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。通過這樣的提問，引導學生思考，準確地概括出梯形的定義。

（2）歸并法——概括的簡潔性。有些概念、原理是由兩個或兩個以上的方面概括而成的，教學時可先逐一敘述，然后再引導學生將其合并起來，成為一個全面概括、語言簡潔的定義。例如，教學比的基本性質，可引導學生分別概括出“比的前項和后項同時乘相同的數（0除外），比值不變”，“比的前項和后項同時除以相同的數（0除外），比值不變”，然后將兩句合并為一句：“比的前項和后項同時乘或除以相同的數（0除外），比值不變”。這樣，不僅使學生深刻理解了比的基本性質，而且使概括出來的語言非常簡潔。

（3）選詞法——概括的準確性。數學概念要準確，敘述的語言就必須準確。在引導學生概括時，要通過相近詞的選擇，幫助學生形成準確用詞的能力，培養學生思維的準確性。例如，教學方程的概念，引導學生概括、揭示概念時，可這樣板書：含有未知數的（ ）叫做方程。讓學生從“式子、算式、等式”三個詞中選填一個。又如，教學小數的性質，可這樣板書：小數的（ ）添上或去掉“0”，小數的大小不變。讓學生從“末尾、最后、后面”三個詞中選填一個。這樣做，既能準確概括，使學生正確地理解概念的意義，體會用詞的準確性，又能幫助學生學會推敲，養成用詞謹慎的習慣。

（4）填充法——概括的完整性。有些概念用語言表達，句子較長，對小學生來說，有一定的難度。教學時，我們可以只要求學生能夠理解，如要用語言完整表達，可以讓學生填寫部分關鍵詞語。例如，教學乘法結合律，可讓學生填空：三個數相乘，可以先把前兩個數（ ），再（ ）；或者先把后兩個數（ ），再（ ），它們的積（ ），叫做乘法結合律。這樣做，既減少了冗長的敘述，降低了學生概括的難度，又突出運算方法的變化，加深了學生對公式的理解。

（5）反例法——概括的嚴密性。許多數學概念都是有條件限制的，而小學生概括概念時往往疏忽有關條件，說出諸如“直徑是半徑的兩倍”“兩條不相交的直線叫做平行線”“三角形的面積是平行四邊形面積的一半”等錯誤判斷來。因此，教學時必須適時舉出反例，提醒學生在概括時加上必要的限制條件。如，教學圓的直徑與半徑的關系，可以用兩個大小不同的圓的直徑和半徑作比較，說明“在同一個圓里”的條件必不可少。

3.類比遷移，以舊識新

概括與遷移具有密切的聯系，遷移的實質就是概括。因此，我們在教學中，要溝通知識間的內在聯系，突出知識間的本質屬性，實現數學知識的遷移，以此促進學生概括能力的發展。

（1）學習已有數學知識的下位知識時，讓學生用已有的知識去同化下位知識，將新知識納入認知結構中去，實現新舊知識的概括與整合。例如，認識了三角形后再學習三角形的分類，將三角形按角分為直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形，按邊分為等腰三角形和不等邊三角形，從而建立一個相對完整的三角形概念系統，實現對各種三角形的全面概括。

（2）學習已有知識的上位知識時，要引導學生發現已有知識不同內容之間的共同要素，從而建立一個能包容新舊知識的上位知識結構。將筆算整數加減法、小數加減法、分數加減法的計算方法通過進一步概括形成更加概括的上位規則，即凡是加減法都必須是相同計數單位上的數才能直接相加減。

（3）在綜合應用中，讓學生對認知結構中的已有知識重組，促進學生認知結構的優化，實現結構重組性遷移。例如，有這樣一道練習題：有一個長方體，長和寬都是5分米，高是10分米，這個長方體的表面積是多少平方分米？解答這道題時，學生有多種解題方法，其思考過程如下：第一，因為長方體相對面的面積相等，因此只要算出其中三個面的面積，再乘以2即可。算式：（5×5+5×10+5×10）×2=250（平方分米）。第二，因為上、下兩個面積相當于一個前面面積，求6個面積只要求出5個前面面積。算式：5×10×5=250（平方分米）。第三，因為前、后、左、右四個面的面積分別都等于2個上面的面積，底面面積等于上面面積，因此，求6個面積只要求出10個上面面積。算式：5×5×10=250平方分米。同時，學生通過相互交流，開闊了思路，受到啟發，活躍了課堂氣氛，培養了學生的發散思維，促進了學生概括能力的發展。

4.引導梳理，溝通聯系

對數學知識進行系統整理，就是在某一階段的學習活動結束后，引導學生對已經學習的有關數學知識進行回憶與梳理，溝通知識之間的聯系，讓學生從更加概括的層面掌握數學知識，在這樣的活動中促進學生概括能力的發展。

（1）突出整理的層次性。在某一階段某個知識系統學習結束后，都要及時對所學內容進行整理，溝通知識間的聯系，形成相應的認知結構。如學習了分數的基本性質后，引導學生聯想與已有知識之間的聯系，喚起學生對分數與除法的關系、分數基本性質與商不變規律的聯系，從而有效地幫助學生形成良好的認知結構。

（2）抓住相關知識的聯系。突出不同內容之間的本質聯系，讓學生形成系統化、結構化的知識網絡。如對平面圖形面積的復習，不但要鞏固各種平面圖形面積的計算方法，還要讓學生理解各種平面圖形面積計算方法間的聯系，感悟面積計算公式推導過程中的數學思想方法，對其內容獲得更加概括的認識。

總之，只有具備良好的概括能力，才能獲得對數學對象的本質和規律的認識，才能使數學對象的感性認識轉化為理性認識，使認識發生質的飛躍，從而為數學學習的遷移、知識的運用提供堅實的基礎。

【責任編輯：陳國慶】