數學開放題教學重在“開放”

諾貝爾物理學獎獲得者謝爾蓋·格拉肖認為，培養杰出科學人才的關鍵在于“讓年輕人停止當學生，使他們開始成為物理學研究者”。他的話從一個角度說明了當前學校教育存在的弊端——教科書、學校及教師常常給學生設定了學習路徑和找尋正確答案的方向。隨著信息技術的飛速發展，社會形態越來越開放多元，隨時都會碰到問題，不知道問題是否能夠獲解，有時甚至不知用什么方法解決。為了幫助學生實現“學用”結合，學校教育亟須更多地開放，讓學生的學習更接地氣，促進學生更積極主動地創新。學生是天生的創造者和探究者，從這個意義上說，以數學開放題為依托的開放課堂為學生問題解決能力的培養提供了另一種路徑，筆者以蘇教版義務教育教科書《數學》五年級上冊“平行四邊形面積”為例，談談自己的實踐與體悟。

一、 探究思路開放：猜想與實驗的無縫對接

猜想和實驗是學習數學的兩種重要方法。數學猜想是人們依據已有數學知識和經驗，運用非邏輯的思維方法，憑借直覺而作出的假設和預測。它是人們探索數學規律、發現數學知識的手段和策略。數學研究更需要實驗，數學家有時通過成百上千次的實驗、觀察、聯系、歸納、類比、猜想才發現一個真理，最后用特有的嚴謹數學語言表達出來。教科書一般都把問題背景和探索過程省略了，這就需要學生在學習時進行必要的“時空穿越”，以親臨其境的姿態進行探尋。

從這個意義上說，教師應在教學過程中為學生提供豐富的現實背景，激發學生的學習積極性，引導學生從不同角度進行大膽猜想，并給予他們充足的自主探索、實驗操作和合作交流時空，在問題解決過程中幫助學生積累廣泛的數學活動經驗，發展數感，提高探索、發現和創新能力。

課始，筆者用課件出示一個長方形花壇和一個正方形花壇，問學生會算這兩幅圖形的面積嗎？因為沒有標出相關數據，學生無法直接解答。在得到否定回答后，教師給這兩幅圖分別覆蓋上方格圖（每個方格邊長1厘米），學生很自然地就能調用原有知識經驗口答出兩幅圖的面積。這種通過數方格的方式推導平面圖形面積的方法為學生的后續學習做了回顧、示范和鋪墊。教師接著設疑，出示一個平行四邊形，讓學生猜想一下它的面積會用怎樣的算式來計算呢？讓學生充分發表自己的觀點。因為受到長方形、正方形面積計算方法的影響，學生有可能出現三種不同的假設，即：6×5、6×4、5×4。教師及時抓住學生的疑惑，適時激發思考：這3種假設都正確嗎？可能有幾個正確算式？（提示：假設有可能都不對）教師指出：數學思考不能只停留在假設階段，更重要的是要尋找方法驗證假設，并順勢板書：假設—驗證，為本課學習歸納出第一條路徑。

這一過程從長方形、正方形的面積計算方法引入，引發學生對舊知識回顧，再出示一個平行四邊形，讓學生根據自身已有知識經驗猜想，教師羅列出三種不同想法后，引導學生評判，從而進一步誘發學生進行校驗，為學生搭建了概念學習的多元開放的探究架構。

二、 探究過程開放：特例與歸納的內在關聯

波利亞曾精辟地指出：“數學有兩個側面，一方面是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面看，數學像是一門系統的演繹科學，但另一方面，創造過程中的數學，看起來卻像是一門試驗性的歸納科學。”誠哉斯言，數學不是一門實驗性的科學，故而在學習過程中不能將觀察到的結果、實驗性的驗證作為判斷數學命題真假的充分依據，但實驗對數學發現及探求數學問題的解決思路起著重要作用。正如歐拉所言：“數學這門學科，需要觀察，也需要實驗?！?/p>

受長方形面積計算方法的定勢和干擾，不少學生認為平行四邊形的面積等于相鄰兩條邊的乘積，這是學生認知中最大的障礙。為了突破這個難點，執教者對教科書進行了大膽重組，讓學生放開手腳在猜想驗證中自主探索，體現研究思路多元，研究方法開放。在學生猜想同一個平行四邊形有三種不同的計算方法后，及時組織師生互動，讓學生通過反思認識到這三種假設有可能一個都不對，也有可能只對一個。正所謂不憤不啟，學生身處思維的困頓之中，教師啟發、點撥學生可以用數方格的方法嘗試實驗。

師生合作用邊長1厘米的小正方形鋪一鋪，實驗發現圖2中用20個完全一樣的小正方形一個一個地鋪平行四邊形，無法鋪滿整個平行四邊形，即平行四邊形的面積比20cm2大。因此，5×4=20cm2是錯誤的。繼續用小正方形鋪，如圖3所示鋪上28個小正方形時，就會超出平行四邊形，也就是說平行四邊形的面積小于28cm2，故5×6=30 cm2也是錯誤的。剩下的假設——6×4=24cm2就一定正確嗎？教師放手學生繼續猜測。師生合作、討論，尋找問題解決的辦法，教師注意搜集整理學生想法，誘發學生思考，揭示轉化策略，并和學生一道借助課件演示嘗試通過剪、拼的方式，把圖中多余部分平移、擦去后（圖4），學生發現平行四邊形的面積恰好是6×4=24cm2。教師適時與學生一起回顧6cm、4cm分別在圖形中所擔負的角色——它們分別為一組對應的底和高，從而概括出平行四邊形的面積=底×高。到這兒似乎大功告成了，殊不知這個實驗僅是一個個例，這個計算公式是否具有普適性，還需要進一步證明。拉普拉斯：“在數學里，發現真理的主要工具是歸納和類比。”歸納和類比環節在過往的教學實踐中常常被忽略。為了幫助學生親歷學習的整體過程，自覺經歷知識的產生過程，筆者在教學時還設計了歸納、類比的環節，與上述猜、想實驗環節遙相呼應，以數學的姿態逼近問題本質。

第一層次：思想滲透。出示圖5，學生猜測后教師啟發方法，課件演示驗證，將學生懵懂的表象認知轉化為清清晰的認知，即：把不規則圖形通過剪、移、拼，轉化成長方形，面積不變。

第二層次：數據實證。操作實驗時，學生通過小組合作把一個平行四邊形轉化成長方形。教師給出活動小貼士：

選一選：從信封中任意選擇一個平行四邊形。

說一說：小聲商量一下，我們小組準備怎樣轉化。

動動手：兩人一組，剪一剪、移一移、拼一拼，我們有什么發現？

小組活動后展示交流，重點呈現同一圖形不同小組不同的剪法，凸顯轉化效果相同，即通過剪、移、拼，把平行四邊形轉化成了長方形。讓學生感悟開普勒的言論：數學就是研究千變萬化中不變的關系。自然過渡到數據整理階段，因為教師事先提供了5種不同的平行四邊形，小組合作輕松完成表格的填寫（表1）。對照表格中的數據，討論并回答教科書第8頁的三個思考題，從眾多的事實中通過不完全歸納得出平行四邊形的面積計算方法。

這樣，通過實證的教學模式，引導學生參與猜測、動手操作、收集數據、分析數據的全過程，使學生在親身體驗和思考過程中，主動發現、建構知識，逐漸學會用數學眼光觀察身邊的事實，從層層遞進中追根溯源，不斷釋疑明理，讓數學知識以科學的形態出現，讓學生在開放探究中深刻感悟到知識本質，體驗到探索與發現的快樂，初步懂得孤證不一定為假，多證不一定為真的道理，最終實現基礎知識習得、基本技能練習、數學思想方法滲透、基本活動經驗積累的有機達成。

三、 練習視角開放：傳統與創生的有機結合

蘇步青先生認為學習數學要多做習題，邊做邊思索；先知其然，然后知其所以然。從這個角度看，基本知識習得、基本技能訓練、基本思想方法內化、基本活動經驗的反芻需要恰到好處的、適當的、開放性的練習。傳統教學經驗表明：新知識鞏固的最佳路徑是從不同維度設計指向性問題。一道好題的價值之一就在于它能產生其他一些好題，數學開放題作為一種答案不惟一的習題，自上世紀70年代出現后一直方興未艾，日常數學學習中滲透開放題能有效撬動學生的數學思考模式，打開別樣思路，促進學生思維發展，特別是學生的創造性思維培養。

基于這樣的考量，筆者設計了三個層次的練習，即基本練習、變式練習和開放練習。在基本練習中增添變式的介入，從對第三個平行四邊形面積的正確計算中強化平行四邊形面積等于對應底乘對應高，全面透徹地掌握基本概念。

在變式練習中設計一個操作活動，將長方形木框通過拉動變形為平行四邊形，給學生提供了另一扇觀察變與不變的“窗戶”。辨析中從另一個維度再次證明平行四邊形的面積≠相鄰兩條邊的乘積，強化教學難點認知。直觀再現拉動前后周長不變、面積變小的事實，給學生充分表達自我感受及見解的機會，提供課件演示讓模糊的感知變得更清晰，從而明晰兩者變與不變的內在聯系。

開放練習是本課設計的亮點之一，根據教科書編制特點及對教學重難點的理解，將傳統數學習題改變問題呈現方式——“變封為開”，設計了“在方格圖上畫一個面積為12平方厘米的平行四邊形”的練習題，以期通過綜合開放題的練習實現對教學難點的深入突破。在日常數學課堂教學中植入開放題元素，努力實現開放題教學與常態課堂教學的有機融合，這是一個頗具挑戰性的問題，對學生空間想象力、發散思維能力的要求較高，成為本課中學生數學思維深化的一個重要環節。學生在四年級時已有畫平行四邊形的經驗，問題解決中的主要挑戰來自于對等底等高平行四邊形的理解不夠熟練，囿于長方形的長期刺激所帶來的底和高對應相等的平行四邊形的認知局限等，限制了解決方案的數量。在這一過程中，學生的獨立思考、小組的合作討論、教師的適當點撥、師生的互動交流都能為豐富問題答案的呈現錦上添花，從而引導學生就某一底和高畫出不同的平行四邊形，也可從不同的底和高畫出更為豐富的平行四邊形。這樣把數學開放題引入常態課堂教學，不僅為封閉的數學習題系統注入了一池活水，還可以更大力度地培養學生的創新意識和創新能力，進一步增強數學課堂的親和度和時代色彩。

總之，從開放題到開放教學，不僅是研究的深化，也是一種時代趨勢，更是一次前瞻轉型。以開放課堂牽引學生能力向縱深發展，破解學生能力培養方式的瓶頸，以數學素養的提升為有效出發點及落腳點，能更好地致力于學生的健康、快樂成長。

參考文獻

[1] 楊傳岡.小學數學開放題教學行思[J].教育探索，2015（11）.

[2] 波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2007.

【責任編輯：陳國慶】