魅力正方形，對稱巧運(yùn)用

□張彩明

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魅力正方形，對稱巧運(yùn)用

□張彩明

正方形是最完美的四邊形，它具有特殊的性質(zhì)，利用正方形關(guān)于對角線對稱的這個性質(zhì)我們?nèi)菀鬃C得某些線段或角相等、某些三角形全等.

如圖1，設(shè)E是正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，則AE＝CE.這個基本圖形的結(jié)論具有一般性，而且很多有關(guān)正方形的幾何題都有該圖形的“影子”，巧用這一結(jié)論可以簡捷地解決一些問題.

圖1

一、求角度

例1如圖2，正方形ABCD中，∠DAF＝26°，AF交對角線BD于E，則∠BEC的度數(shù)為_______.

圖2

分析：根據(jù)對稱性可知∠ECD＝∠EAD，以此作為解答本題的突破口.

解：因?yàn)閷蔷€BD所在的直線是正方形ABCD的一條對稱軸，而點(diǎn)E在對稱軸上，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于BD所在直線對稱，又點(diǎn)D在對稱軸上，所以△AED和△CED關(guān)于BD所在直線對稱.

所以∠ECD＝∠EAD＝26°.

又BD平分∠ADC，

所以∠EDC＝45°，

所以∠BEC＝∠ECD＋∠EDC

＝26°＋45°＝71°.

二、證明線段垂直

例2如圖3，在正方形ABCD中，E是AD邊上的中點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)F，求證：AF⊥BE.

圖3

分析：要證明AF⊥BE，即證明∠1＋∠2＝90°即可.因?yàn)檎叫侮P(guān)于對角線BD所在直線對稱，根據(jù)對稱性可知∠1＝∠3，然后再根據(jù)點(diǎn)E 是AD的中點(diǎn)，正方形關(guān)于AD的垂直平分線對稱，得到∠2＝∠4，從而可證.

證明：因?yàn)辄c(diǎn)F在BD上，點(diǎn)A關(guān)于BD所在直線的對稱點(diǎn)是點(diǎn)C，

所以∠1＝∠3.

又E是AD的中點(diǎn)，△ABE和△DCE關(guān)于AD的垂直平分線對稱，

所以∠2＝∠4.

又因?yàn)椤?＋∠4＝90°，

所以∠1＋∠2＝90°，

所以AF⊥BE.

三、證明線段相等

例3如圖4，點(diǎn)P在正方形ABCD的對角線BD上，且PE⊥AD，PF⊥AB，垂足分別是E、F.試證明EF＝PC.

圖4

分析：要證明EF＝PC，直接證明比較困難.注意到四邊形AEPF是矩形，可知EF＝AP，即連接AP，然后利用對稱性求證.

證明：因?yàn)镻E⊥AD，PF⊥AB，∠EAF＝90°，所以四邊形AEPF是矩形，連接AP，可得AP＝EF.由正方形的對稱性可知AP＝CP，所以EF＝PC.

四、求最小值

例4如圖5，正方形ABCD的邊長為2，E是BC中點(diǎn). F是BD上的一個動點(diǎn)（F與B、D不重合）.設(shè)折線EFC的長為m，求m的最小值，并說明點(diǎn)F此時的位置.

圖5

分析：由正方形的對稱性知AF＝CF，所以m＝EF＋AF，只有當(dāng)A、F、E三點(diǎn)在同一條直線上，m才能取得最小值.此時F移動到AE與BD的交點(diǎn)F0處.

解：由對稱性可知，AF＝FC，所以m＝EF＋CF＝EF＋AF.

僅當(dāng)A、F、E在一條直線時，m取得最小值，此時連接AE交BD于 F（0圖略），有故m的最小值為此時F是AE與BD的交點(diǎn).

通過上面的解答，使我們意識到在學(xué)習(xí)幾何時，要多思多想，善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)各種基本圖形的特點(diǎn)和性質(zhì)，并在解題中靈活運(yùn)用，做到使知識融匯貫通、舉一反三.