領(lǐng)略轉(zhuǎn)化 提升能力

□高峰

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領(lǐng)略轉(zhuǎn)化 提升能力

□高峰

就解題而言，解題就意味著轉(zhuǎn)化，即把“新知”轉(zhuǎn)化為“舊知”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”，把“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”，把“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”，把“一般”轉(zhuǎn)化為“特殊”等等.轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是分析問題和解決問題的一個(gè)基本思想.

一、四邊形轉(zhuǎn)化為三角形

例1如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E、O，連接CE，則CE的長為（）.

A. 3B. 3.5

C. 2.5D. 2.8

圖1

解析：設(shè)CE的長為x，因?yàn)镋O垂直平分AC，所以AE＝CE＝x，所以ED＝4－x，在Rt△CED中，由勾股定理得22＋（4－x）2＝x2，解得x＝2.5.選C.

點(diǎn)評(píng)：利用矩形、線段垂直平分線的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，再利用勾股定理將幾何問題轉(zhuǎn)化為方程問題.

二、把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形

例2如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四邊形ABCD的面積是24cm2，則AC長是________

cm.

圖2

圖3

解析：如圖3，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)F.則可證△ABE≌△ADF，得AE＝AF.進(jìn)一步可證四邊形AECF是正方形，且正方形AECF與四邊形ABCD的面積相等.則所以

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是正確地作出旋轉(zhuǎn)變換，將四邊形的問題轉(zhuǎn)化成正方形的問題來解決.

三、線段和（差）問題轉(zhuǎn)化為兩線段相等問題

例3已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時(shí)針順序排列），使∠DAF＝60°，連接CF.

（1）如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①BD＝CF；②AC＝CF＋CD.

（2）如圖5，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC＝CF＋CD是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖4

圖5

（3）如圖6，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系.

圖6

圖7

解析：（1）根據(jù)等邊三角形和菱形的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)等線段、等角，證明△ABD≌△ACF即可解決問題.

①∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°.

∵四邊形ADEF為菱形，

∴AD＝AF.

∵∠BAC＝∠DAF＝60°，

∴∠BAC－∠DAC

＝∠DAF－∠DAC，

即∠BAD＝∠CAF.

∴△ABD≌△ACF.

∴BD＝CF.

②∵AC＝BC＝BD＋CD，且由①BD＝CF，∴AC＝CF＋CD.

（2）觀察圖形，可知CF最長，顯然（1）②中結(jié)論不再成立，這時(shí)模仿（1）①中全等三角形的證明思路，看相應(yīng)的兩個(gè)三角形是否仍然全等，進(jìn)而解決問題.

原關(guān)系不成立.存在的數(shù)量關(guān)系為CF＝AC＋CD.

理由：由（1）①同理可得

△ABD≌△ACF，

∴BD＝CF.

∵BD＝BC＋CD＝AC＋CD，

∴CF＝AC＋CD.

（3）如圖7，觀察圖形，可知CD最長，CD＝AC＋CF.證明方法與前面類似.其實(shí)總結(jié)（1）（2）可發(fā)現(xiàn)該三條線段之間的關(guān)系就是最長的一條等于較短的兩條線段之和.

點(diǎn)評(píng)：本題旨在引導(dǎo)探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中，某個(gè)結(jié)論變與不變的問題，雖然是探究三條線段之間的關(guān)系，但實(shí)質(zhì)還是轉(zhuǎn)化為探究兩條線段之間的關(guān)系.

四、通過轉(zhuǎn)化將分散的條件集中

分析：根據(jù)條件易知在△ABE與△ADG中，∠B＝∠D＝45°，∠BAE＝∠DAG＝30°，利用旋轉(zhuǎn)變換，將△ADG逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與△ABE拼接，構(gòu)成等邊三角形和等腰直角三角形進(jìn)行計(jì)算.

圖8

解：如圖8，將△ADG逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AHB的位置，連接EH交AB 于I，則AH＝AG＝AE，HB＝GD＝BE，因?yàn)椤螧AD＝135°，∠EAG＝75°，所以∠B＝∠D＝45°，∠BAE＝∠DAG＝30°，所以∠HAE＝60°，∠HBA＝∠D＝45°，所以△AHE是等邊三角形，△HBE是等腰直角三角形.

設(shè)IE＝1，則BI＝IH＝1，AE＝HE＝2，

點(diǎn)評(píng)：本題通過旋轉(zhuǎn)將兩個(gè)30°拼成60°，將兩個(gè)45°拼成90°，把條件集中到等邊三角形和等腰直角三角形中，使問題得以解決.