缺失數(shù)據(jù)下基于EM算法的非線性過(guò)程建模

王幼琴，趙忠蓋，劉飛（江南大學(xué)輕工過(guò)程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫 214122）

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缺失數(shù)據(jù)下基于EM算法的非線性過(guò)程建模

王幼琴，趙忠蓋，劉飛
（江南大學(xué)輕工過(guò)程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫 214122）

摘要：線性時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)（LPV）將多階段、非線性的過(guò)程建模轉(zhuǎn)化為線性多模型的辨識(shí)問(wèn)題，近年來(lái)得到了極大關(guān)注。考慮缺失數(shù)據(jù)下LPV系統(tǒng)的離線建模問(wèn)題，首先引入一個(gè)二進(jìn)制變量表征輸出樣本缺失狀態(tài)，選取過(guò)程關(guān)鍵變量作為調(diào)度變量，確定主要工況點(diǎn)；然后圍繞不同工況點(diǎn)建立局部子模型，將輸出缺失部分和采樣數(shù)據(jù)的模型歸屬當(dāng)作隱藏變量，利用EM算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，再采用高斯權(quán)重函數(shù)融合各子模型。最后分別針對(duì)典型二階過(guò)程和連續(xù)攪拌反應(yīng)釜（CSTR），運(yùn)用提出的多模型和算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，表明有效性。

關(guān)鍵詞：非線性過(guò)程；LPV系統(tǒng)；多模型；缺失數(shù)據(jù)；EM算法；參數(shù)估計(jì)

2015-06-12收到初稿，2015-09-08收到修改稿。

聯(lián)系人：劉飛。第一作者：王幼琴（1991—），女，碩士研究生。基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61134007，61573169）。

引 言

非線性過(guò)程的建模一直是學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的關(guān)注焦點(diǎn)。過(guò)去幾十年，非線性過(guò)程建模技術(shù)得到了極大發(fā)展，歸納起來(lái)，主要包括黑箱建模和機(jī)理建模方法。黑箱建模方法通過(guò)分析過(guò)程的歷史數(shù)據(jù)，建立過(guò)程變量之間的相關(guān)模型。常見(jiàn)的黑箱模型有人工網(wǎng)絡(luò)模型，非線性自動(dòng)回歸模型（NARX），高斯回歸過(guò)程和混雜模型[1-4]，這些建模方法均不需深入了解過(guò)程的反應(yīng)機(jī)理，對(duì)數(shù)據(jù)的數(shù)量和質(zhì)量依賴性強(qiáng)。機(jī)理建模方法根據(jù)過(guò)程運(yùn)行機(jī)理，通過(guò)能量/質(zhì)量守恒定理建立過(guò)程非線性模型，精度高。但該方法基于對(duì)過(guò)程機(jī)理的深入了解，建模周期長(zhǎng)，難度大。

LPV（liner parameter varying）系統(tǒng)，也稱為線性變參數(shù)系統(tǒng)，通過(guò)線性模型參數(shù)變化，也即線性多模型系統(tǒng)逼近復(fù)雜非線性系統(tǒng)，其模型描述形式具有線性系統(tǒng)的特點(diǎn)，模型系數(shù)矩陣是關(guān)于一個(gè)調(diào)度變量的函數(shù)。調(diào)度變量一般選取實(shí)際工業(yè)過(guò)程中可測(cè)量且反映不同階段特征的過(guò)程關(guān)鍵變量[5]。近年來(lái)LPV建模得到極大關(guān)注[6-9]，Bamieh等[6]提出了一種假設(shè)輸入-輸出數(shù)據(jù)和調(diào)度變量都可測(cè)量的LPV辨識(shí)模型，采用最小二乘方法估計(jì)參數(shù)，該方法要求在整個(gè)大范圍工作點(diǎn)進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間測(cè)試，難以適用于部分輸入信號(hào)不能操縱的過(guò)程。為了降低對(duì)輸入信號(hào)的要求，Zhu等[9]提出一種基于調(diào)度變量操作軌跡LPV模型的非線性辨識(shí)方法，只在特定工作點(diǎn)進(jìn)行測(cè)試與辨識(shí)相應(yīng)模型，并根據(jù)工作點(diǎn)測(cè)試數(shù)據(jù)及各工作點(diǎn)間過(guò)渡數(shù)據(jù)辨識(shí)全局插值LPV模型。然而，該方法中所有的局部先驗(yàn)?zāi)Ｐ投家笠阎胰直孀R(shí)模型的性能容易受到各個(gè)局部模型精度的影響。此外，該方法采用三次樣條函數(shù)作為權(quán)重函數(shù)融合子模型，而確定三次樣條函數(shù)合適的階數(shù)也具有一定的難度。Jin等[10]將EM算法引入LPV模型的辨識(shí)中，利用EM算法對(duì)局部模型進(jìn)行辨識(shí)，并采用高斯權(quán)函數(shù)合成局部模型。EM算法是基于極大似然的參數(shù)估計(jì)方法，是一種當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)為不完全數(shù)據(jù)時(shí)求解最大似然估計(jì)的迭代算法，能夠有效處理多模型建模問(wèn)題[11-12]。在Jin等的研究基礎(chǔ)上，Chen等[13]繼續(xù)研究了調(diào)度變量受噪聲干擾的非線性系統(tǒng)，引入狀態(tài)空間模型來(lái)描述調(diào)度變量的動(dòng)態(tài)特性，應(yīng)用多模型方法及期望最大化（EM）算法辨識(shí)過(guò)程模型。

但是，上述方法僅僅考慮了測(cè)量值完全可測(cè)的情形。而在實(shí)際工業(yè)過(guò)程中，由于惡劣的環(huán)境、傳感器故障等原因，測(cè)量值缺失情況普遍存在。缺失值從缺失的分布來(lái)講可以分為完全隨機(jī)缺失（MCAR）、隨機(jī)缺失（MAR）和完全非隨機(jī)缺失（MNAR）[14]，對(duì)于缺失數(shù)據(jù)的處理方法主要有兩大類：缺失值刪除法和缺失值插補(bǔ)法[15]。刪除法就是將含有缺失值的樣本直接舍棄，方法簡(jiǎn)單，缺失的變量值占總體數(shù)據(jù)的總量很小的情況下使用該方法比較有效，但該方法最大的缺點(diǎn)就是可能會(huì)丟失有效信息，不適合用于采樣頻率低、采樣數(shù)據(jù)少的過(guò)程。缺失值插補(bǔ)法包括均值插補(bǔ)、極大似然估計(jì)、多重插補(bǔ)等方法。該方法對(duì)于缺失類型是隨機(jī)缺失的效果較好，但也存在對(duì)樣本存在干擾的缺點(diǎn)。

本文主要考慮測(cè)量值缺失的情況下非線性系統(tǒng)的辨識(shí)問(wèn)題，假設(shè)輸出缺失類型屬于MCAR或者M(jìn)AR，并選用基于極大似然估計(jì)的EM算法處理缺失數(shù)據(jù)。首先引入一個(gè)二進(jìn)制變量H表征每一時(shí)刻輸出是否缺失，同時(shí)選取過(guò)程中的關(guān)鍵變量作為調(diào)度變量，確定主要的工況點(diǎn)并進(jìn)行子模型的劃分，子模型結(jié)構(gòu)采用能較好逼近任意線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的ARX模型。然后基于EM算法，將采樣數(shù)據(jù)的模型歸屬以及輸出數(shù)據(jù)缺失部分當(dāng)作隱藏變量，對(duì)子模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，最后通過(guò)符合高斯分布的權(quán)重函數(shù)合成全局模型。針對(duì)典型二階非線性過(guò)程和CSTR系統(tǒng)分別進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明該方法具有較高的擬合精度。

1 基于EM算法的多模型建模

本文中用一組ARX模型作為局部線性模型來(lái)逼近過(guò)程的動(dòng)態(tài)[16]。ARX模型具有較好的逼近線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的性能，表示如下

假設(shè)工況點(diǎn)個(gè)數(shù)記為M，即子模型的個(gè)數(shù)，每個(gè)工作點(diǎn)處的調(diào)度變量記為τi本質(zhì)上是非線性過(guò)程局部線性化的操作條件，在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，操作階段明確，因此此處τi假設(shè)已知。

為使各子模型平滑融合，采用高斯分布函數(shù)為權(quán)重函數(shù)[17]，k時(shí)刻第i個(gè)子模型的權(quán)重wki表示如下

式中，Zk表示k時(shí)刻調(diào)度變量的值；oi表示第i個(gè)模型的有效寬度。歸一化后的權(quán)重函數(shù)可以表示為

因此，對(duì)于輸出的預(yù)測(cè)可以表示如式（5）所示

2 缺失數(shù)據(jù)下基于EM算法的參數(shù)估計(jì)

EM算法由Dempster等[18]于1977年提出，旨在求解數(shù)據(jù)有缺失或隱含情況下參數(shù)的極大似然估計(jì)。EM算法由E（expectation）步和M（maximization）步組成。E步利用對(duì)隱藏變量的現(xiàn)有估計(jì)值和可觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算完整數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)的期望，記為Q函數(shù)；M步中，通過(guò)最大化Q校正參數(shù)向量。

E步和M步不斷迭代直至似然函數(shù)收斂。Cobs和缺失數(shù)據(jù)Cmis兩部分組成，即記輸出可測(cè)部分為yobs，輸出缺失部分為ymis，則整個(gè)過(guò)程的輸出為，可觀測(cè)數(shù)據(jù)集，不可觀測(cè)部分為，過(guò)程中完整的數(shù)據(jù)集可以表示為，其中。

則EM算法可以歸納為以下步驟[12]：

（1）初始化參數(shù)向量Θold；

（2）E步，使用當(dāng)前參數(shù)Θold估計(jì)近似的Q函數(shù)

（3）M步，將Q函數(shù)最大化，獲得新的迭代參數(shù)

（4）迭代過(guò)程，將獲得新的參數(shù)代入步驟（2），不斷重復(fù)步驟（2）和步驟（3），直至滿足收斂條件。

下面詳細(xì)介紹本文在輸出有缺失的情況下EM算法的計(jì)算步驟。

（1）E步

利用隱藏變量的現(xiàn)有估計(jì)值和可觀測(cè)數(shù)據(jù)求完整數(shù)據(jù)集C期望的表達(dá)式如式（9）所示。

為了進(jìn)一步計(jì)算式（9）中的Q函數(shù)，則需要計(jì)算P( yk|xk, ΘIk)，和這3個(gè)概率密度函數(shù)。表示的是ARX模型分布概率，符合高斯分布，根據(jù)高斯分布概率函數(shù)可以得到，如式（10）所示

詳細(xì)推導(dǎo)見(jiàn)附錄3。

（2）M步

M步就是將E步中得到的Q函數(shù)極大化，獲得新的參數(shù)。分別針對(duì)子模型參數(shù)θi和過(guò)程噪聲方差σ2求偏導(dǎo)得到

對(duì)于局部模型有效寬度oi，由于采用指數(shù)函數(shù)形式作為權(quán)函數(shù)來(lái)合成模型，在對(duì)式（9）中Q函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)不能得到它的解析形式，可以轉(zhuǎn)化為有約束情況下的極值求解問(wèn)題，該最優(yōu)值問(wèn)題可描述為

根據(jù)式（12）～式（14）得到當(dāng)前的參數(shù)、噪聲方差和子模型有效寬度的估計(jì)，將其代入Q函數(shù)進(jìn)行下一次迭代，直至收斂。

3 建模驗(yàn)證

3.1 數(shù)值仿真試驗(yàn)

以模型參數(shù)變化的二階過(guò)程為例，驗(yàn)證前述LPV建模方法，二階過(guò)程的傳遞函數(shù)如式（15）

該過(guò)程增益K(Z)和過(guò)程時(shí)間常數(shù)τ(Z)均為調(diào)度變量Z的非線性函數(shù)，具體的非線性關(guān)系式如下：

可以看出，在整個(gè)過(guò)程的操作范圍內(nèi)，過(guò)程增益和時(shí)間常數(shù)的變化比較劇烈，在特定工作條件下的單一線性模型難以捕捉整個(gè)工作范圍內(nèi)的動(dòng)態(tài)特性。因此采用基于LPV系統(tǒng)的多模型描述在不同操作條件下的過(guò)程行為。

采用多模型對(duì)LPV系統(tǒng)建模時(shí)，假設(shè)在Z1= 1、Z2= 2.5、Z3= 4這3個(gè)工作點(diǎn)進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試信號(hào)為幅值0.5的隨機(jī)二進(jìn)制信號(hào)。在兩個(gè)工作點(diǎn)的過(guò)渡期間，調(diào)度變量Z以固定的步長(zhǎng)增加。同時(shí)在獲取的輸出數(shù)據(jù)中加入了方差為0.15的過(guò)程白噪聲，輸出數(shù)據(jù)隨機(jī)缺失。

圖1表示實(shí)際的輸入輸出信號(hào)，圖2表示整個(gè)過(guò)程中調(diào)度變量的軌跡。輸出缺失50%時(shí)二進(jìn)制數(shù)Hk如圖3所示。圖4表示了歸一化后的權(quán)重與調(diào)度變量之間的關(guān)系。當(dāng)輸出數(shù)據(jù)缺失50%時(shí)，模型自我驗(yàn)證的結(jié)果如圖5所示。模型的質(zhì)量通過(guò)相關(guān)誤差量測(cè)[17]

圖1 輸入輸出信號(hào)(理論值)Fig.1 Input-output excitation data

圖2 二階非線性過(guò)程調(diào)度變量的值Fig.2 Scheduling variable of second-order nonlinear process

圖3 輸出缺失50%時(shí)二進(jìn)制變量Hk的值Fig.3 Value of binary variables under output loss of 50%

3.2 CSTR仿真實(shí)驗(yàn)

圖4 二階非線性過(guò)程不同操作點(diǎn)下的子模型權(quán)重Fig.4 Weight of each local model at different operating points of second-order nonlinear process

圖5 二階非線性過(guò)程自我驗(yàn)證輸出預(yù)測(cè)Fig.5 Validation of global model against model training data set of second-order nonlinear process

圖6 二階非線性過(guò)程交叉驗(yàn)證輸出預(yù)測(cè)Fig.6 Cross validation of identified global model of second-order nonlinear process

表1 ARX子模型的真實(shí)參數(shù)Table 1 Real parameters of ARX model

連續(xù)攪拌反應(yīng)釜（continuous stirred tank reactor， CSTR）是發(fā)酵、化工、石油生產(chǎn)、生物制藥等工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中應(yīng)用最廣泛的一種化學(xué)反應(yīng)器，CSTR的化學(xué)反應(yīng)過(guò)程是一個(gè)非線性、時(shí)變的過(guò)程，對(duì)這類系統(tǒng)難以建立精確的機(jī)理模型。在本文中，采用的是不可逆放熱反應(yīng)過(guò)程A→B[10,19-20]。如圖7所示是一個(gè)裝有冷卻管的連續(xù)攪拌反應(yīng)槽（CSTR）。進(jìn)入CSTR的過(guò)程流量為q，溫度為T0，密度為ρ，A物質(zhì)濃度為CA0，冷卻液溫度為Tc0，流量為qc，介質(zhì)密度為ρc。物料在反應(yīng)槽中充分?jǐn)嚢璨l(fā)生化學(xué)反應(yīng)，產(chǎn)生的熱量由冷卻器帶走。最后生成的產(chǎn)品溢流出去，產(chǎn)品A最終的濃度為CA。

表2 不同缺失數(shù)據(jù)下ARX子模型的參數(shù)估計(jì)值Table 2 Estimated parameter of ARX model under missing output

圖7 具有冷卻器的連續(xù)攪拌反應(yīng)槽Fig.7 Continuous stirring tank reaction

根據(jù)質(zhì)量和熱量守恒定律，該過(guò)程的第一原理模型可以表示為

式（19）中各項(xiàng)變量及其相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值見(jiàn)表3。

本文中，反應(yīng)器內(nèi)A產(chǎn)品濃度為主要輸出，冷劑流量qc為輸入變量同時(shí)也為調(diào)度變量，其范圍為97～105 L·min?1，預(yù)先選定97、100、101、103、105 L·min?15個(gè)工作點(diǎn)。

表3 CSTR模型參數(shù)及穩(wěn)態(tài)值Table 3 CSTR model parameters and their steady state values

圖8所示的是輸入-輸出數(shù)據(jù)，由圖中可以看出輸入包含了5個(gè)工作點(diǎn)，在每個(gè)操作點(diǎn)時(shí)輸入是幅值為1的隨機(jī)二進(jìn)制信號(hào)，同時(shí)在每?jī)蓚€(gè)操作點(diǎn)之間，冷劑流量以固定步長(zhǎng)增加。圖9表示的是整個(gè)操作范圍內(nèi)的調(diào)度變量的值。圖10表示的是歸一化后的權(quán)重，圖11為輸出缺失25%時(shí)自我驗(yàn)證，可以看出預(yù)測(cè)輸出和真實(shí)輸出擬合效果較高。為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型有效性，選取另一組數(shù)據(jù)進(jìn)行交叉驗(yàn)證。圖12為交叉驗(yàn)證，圖13為預(yù)測(cè)輸出和真實(shí)輸出的分布，可以看出預(yù)測(cè)輸出較好的擬合真實(shí)輸出。從圖11～圖13可以看出根據(jù)本文所述方法建立的模型擬合精度較高。根據(jù)式(18)計(jì)算得到的自我驗(yàn)證的相關(guān)誤差為1.14%，交叉驗(yàn)證的相關(guān)誤差為1.72%。

4 結(jié) 論

針對(duì)輸出存在缺失的非線性工業(yè)過(guò)程，引入二進(jìn)制變量表示輸出的有效性，選取過(guò)程關(guān)鍵變量作為調(diào)度變量，將模型歸屬以及輸出缺失部分當(dāng)作隱含變量，采用基于EM算法的多模型方法建模。子模型結(jié)構(gòu)采用ARX模型，同時(shí)將歸一化的指數(shù)函數(shù)作為權(quán)重函數(shù)，用來(lái)表示每個(gè)局部模型有效的概率并將所有的局部模型合成。最后對(duì)二階非線性過(guò)程和CSTR系統(tǒng)分別進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明本文方法下的建模精度較高。

圖8 CSTR系統(tǒng)的輸入-輸出Fig.8 Input-output excitation data of CSTR system

圖9 CSTR系統(tǒng)調(diào)度變量的值Fig.9 Scheduling variable of CSTR system

圖10 CSTR系統(tǒng)不同操作點(diǎn)下的子模型權(quán)重Fig.10 Weight of each local model at different operating points

圖11 CSTR系統(tǒng)自我驗(yàn)證輸出預(yù)測(cè)Fig.11 Validation of global model against model training data set of CSTR system

圖12 CSTR系統(tǒng)交叉驗(yàn)證輸出預(yù)測(cè)Fig.12 Cross validation of identified global model of CSTR system

圖13 交叉驗(yàn)證預(yù)測(cè)輸出分布Fig.13 Output forecast maps under cross validation

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附錄1 式（6）推導(dǎo)過(guò)程

基于每個(gè)收集過(guò)程數(shù)據(jù)的局部模型身份可以由調(diào)度變量來(lái)推斷的假設(shè)，故式（20）中存在等價(jià)。

附錄2 式（9）推導(dǎo)過(guò)程

從式（9）中可以看出要求Q函數(shù)，則需要求以下3項(xiàng)期望值：

下面將詳細(xì)推導(dǎo)求期望值的過(guò)程，如下所示：

將式（23）代入式（22）中得到

③因?yàn)镃1為常數(shù)，故其期望也為常數(shù)，用C2表示，即將①、②和③中的期望相加即可得到Q函數(shù)，即

附錄3 式（11）推導(dǎo)過(guò)程

研究論文

Received date: 2015-06-12.

Foundation item: supported by the National Natural Science Foundation of China (61134007, 61573169).

Identification of nonlinear parameter varying systems with EM algorithm under missing output data

WANG Youqin, ZHAO Zhonggai, LIU Fei
(Key Laboratory of Advanced Control for Light Industry Processes of Ministry of Education, Jiangnan University, Wuxi 214122, Jiangsu, China)

Abstract:A linear parameter varying (LPV) method can develop the model of the multi-stage, non-linear process through the identification of linear multiple models. In recent years it has been of great concern. This paper investigates the identification of the LPV model with incomplete measurements. First, to indicate whether the output measurement is missing at each sampling instant, a binary variable is defined through which the availability of the output measurement is denoted. The key variable(s) can be taken as the scheduling variable(s) and the main operating point is determined based on the actual production process. Then, local models are constructed around each operating point, and EM algorithm is introduced to estimate their parameters. Both the missing data and the sampling data belonging are treated as the hidden variables. Finally, local models are combined according to an exponential weighting function. A simulated numerical example as well as the continuous stirred tank reactor (CSTR) are employed to demonstrate the effectiveness of the proposed method.

Key words:nonlinear process; LPV system; multiple models; missing data; EM algorithm; parameter estimation

DOI：10.11949/j.issn.0438-1157.20150917

中圖分類號(hào)：TQ 028.8

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：0438—1157（2016）03—0931—09

Corresponding author:Prof. LIU Fei, fliu@jiangnan.edu.cn