一種基于PWA模型的控制策略在連續攪拌反應釜中的應用

王宇紅，楊璞（中國石油大學（華東）信息與控制工程學院，山東 青島 266580）

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一種基于PWA模型的控制策略在連續攪拌反應釜中的應用

王宇紅，楊璞
（中國石油大學（華東）信息與控制工程學院，山東 青島 266580）

摘要：在化工系統實際運行過程中，常常會出現一些不正常的工作狀態，為了使系統運行狀態能夠避開這些不正常的工作狀態，往往需要對控制器進行重構。針對這種情況，本文闡述了一種基于分段仿射模型的控制策略，該控制策略采用顯式模型預測控制算法對系統進行控制，當檢測到系統出現異常工作點時，先對系統進行形式驗證，根據驗證結果，再決定是否進行控制器重構，這樣，既大大節約了生產時間和成本，也提高了控制效率。將該控制策略應用到連續攪拌反應釜系統中，取得了顯著的應用成效。

關鍵詞：分段仿射模型；顯式模型預測控制；形式驗證；連續攪拌反應釜；動態仿真

2015-12-07收到初稿，2015-12-17收到修改稿。

聯系人及第一作者：王宇紅（1970—），男，博士研究生，教授。

引 言

化工裝置往往具有非線性特性和混雜特性，分段仿射（PWA）模型能夠很好地描述這類裝置的特性[1]。化工生產對控制實時性要求較高，能否準確及時地對生產過程進行控制，將直接影響生產的效率和產品的質量。目前，采用傳統的模型預測控制技術[2-4]、非線性預測控制技術[5-6]、自適應控制技術[7-8]，均需要在線求取控制器，導致控制實時性不強。顯式模型預測控制[9-10]分為離線計算和在線計算兩部分，它通過離線計算得到系統狀態和最優控制輸入的顯式關系，在線計算時，只需根據系統當前時刻狀態，進行簡單的線性運算，即可得到系統輸入，從而大大減少了在線計算量，節省了在線計算時間，若采用顯式模型預測控制技術對化工系統進行控制，則能夠很好地滿足化工生產對控制實時性的要求。

在實際化工生產過程中，也常常會出現一些異常或不理想的工作點，它們組成的集合稱為危險狀態集，為了使系統運行狀態能夠避開危險狀態集，往往需要重新設計控制器以滿足新的控制要求，這會導致控制的實時性變差，浪費大量生產時間，增加生產成本。如果先對系統進行形式驗證[11-12]，即系統在給定時間內，在當前控制器的作用下，判斷初始狀態集中的狀態，是否可達不安全狀態集，根據判斷的結果，再決定是否需要重新設計控制器，這樣可以大大減少控制器重構的次數，從而提高了生產效率。

本文首先介紹了PWA模型，然后分別對基于PWA模型的顯式模型預測控制算法和形式驗證進行了詳細的研究，最后提出了一種基于PWA模型的控制策略，并將該控制策略應用到連續攪拌反應釜（CSTR）系統中，達到了期望的控制效果。

1 PWA模型

PWA模型的特點是包含有限個連續變量動態子模型，隨著系統狀態的不斷演化，系統根據切換律在不同模態之間進行切換，其表達式為[13-14]

2 基于PWA模型的顯式模型預測控制

顯式模型預測控制分為離線計算和在線計算兩部分，它的基本思想是將模型預測控制算法與多參數規劃理論相結合，通過離線計算求取顯式控制律，那么在線計算過程就不需要復雜的優化計算，控制的實時性高。

2.1 離線計算

考慮如下控制問題：

setN是權值矩陣，它們是滿秩矩陣。這是帶約束的有限時域最優控制問題，本文采用一種將動態規劃理論與多參數線性規劃理論相結合的方法求解該問題。

根據貝爾曼最優化原理，問題（2）可以表示為一個等價的動態規劃問題[15-16]

其中

是使問題（3）可行的所有狀態的集合。

對于動態規劃問題（3）、（4），若采用逆序解法求解，每一次迭代都可以將其轉化為如下形式

如果把x看作參數變量，u看作決策變量，那么式（6）可以看作多參數線性規劃問題，通過求解該問題，得到分段仿射形式的顯式控制率[15]

2.2 在線計算

在線計算過程只需檢測系統當前時刻狀態，先確定該狀態所屬的控制器分區，這實質上是一個“點定位”問題，采用文獻[17]的方法，能夠高效地解決該問題；再根據與該狀態所屬分區相對應的控制率子函數，即可求得系統輸入，下一時刻，重復上述在線過程即可。

3 基于PWA模型的形式驗證

對系統進行形式驗證，本質是檢驗系統特定的行為屬性是否滿足控制要求。本文采用基于模型驗證的方法，其中，系統模型為PWA模型，系統可能的輸入通過顯式模型預測控制器直接得到，形式驗證算法如下所述。

（1）建立系統的形式驗證模型

已知系統的PWA模型如式（1）所示，顯式控制率如式（7）所示，依次求取與的交集為，得到系統的形式驗證模型

可以看出，該形式驗證模型為自治的PWA模型。（2）求取可達集定義1 對于自治系統其中，和均為多面體集，定義系統的一步可達集為。

代表P的第i個頂點，vP代表P的頂點總數。

假設X0為滿足系統狀態約束條件的初始狀態集，它是凸多面體集，根據建立的形式驗證模型，求取與X0的交集為， h=1,… , q。如果將交集χh，h=1,… , q分別用它的頂點組合表示，其中，代表的第i個頂點，代表的頂點總數；那么，系統的一步可達集為其中，。根據遞推關系，系統的N步可達集可通過，得到。

（3）給出驗證結果

假設系統不安全狀態集為Xf，要驗證系統在有限步長N≤ Nmax內，是否可達Xf，其實只需要驗證與是否有交集，當說明系統可達不安全狀態集Xf，否則，不可達。

將基于PWA模型的顯式模型預測控制與形式驗證相結合，即可得到全新的控制策略：建立系統的PWA模型，采用顯式模型預測控制算法對系統進行控制，針對系統在實際運行過程中出現危險狀態集的情況，先對系統進行形式驗證，再決定是否需要重新設計控制器，以期最終達到控制目標。

4 仿真實例

4.1 CSTR系統的PWA模型

CSTR是化工生產過程中必不可少的生產工具，由于它具有高度非線性、多變量和多工作點的特點，采用簡單單一的模型往往不能很好地反映系統的特性，這里采用PWA模型對其進行建模，一個標準兩狀態的CSTR系統如圖1所示。

圖1 連續攪拌反應釜Fig.1 Continuous stirred tank reactor

假設反應釜中發生的化學反應為不可逆放熱反應A→ B，其中，CA為產物濃度，T為反應釜內溫度，qc為冷卻劑流量，Tcf為冷卻劑溫度。根據文獻[18-19]，令CA和T分別為系統的狀態變量x1, x2； Tcf為系統的輸入u；CB為系統的輸出y，則CSTR系統可由式（8）描述

其中κ(x2)λ=20.0，x1f= 1.0，，變量的取值范圍為。

在額定工作條件下，系統有3個穩定工作點：xs1=(0.856,0.886)，xs2=(0.5528,2.7517)，xs3= (0.2353,4.7050)，其中，xs1, xs 3為漸近穩定工作點，xs2為局部穩定工作點。

若在穩定工作點處先對式（8）進行線性化，再離散化，即可建立CSTR系統的PWA模型為

4.2 仿真結果與分析

化工生產過程中，CSTR系統需要工作在不同的工作點（穩態點）處，以便生產出所需要的產品，這里假設某一產品在點處產出，系統初始狀態集為控制目標是使X0中的狀態點，在輸入作用下，都能夠達到期望的工作點xs1處。若選取任意一個符合要求的狀態點x0=( 0.35,0.4 )作為系統初始狀態，應用上述控制策略進行仿真，仿真結果如圖2～圖4所示。

圖2 顯式模型預測控制器狀態分區Fig.2 Partitions of explicit model predictive controller

圖3 CSTR系統的狀態演化曲線Fig.3 State evolution of CSTR system

圖4 CSTR系統狀態演化過程的相平面圖Fig.4 Phase-plane diagram of state evolution of CSTR system

圖2中，顯式模型預測控制器共有26個不同的子控制率分布在162個狀態分區上，其中，不同顏色的分區對應不同的子控制率。圖3中，在K =42時，系統達到并穩定在期望的工作狀態，整個控制過程快速平穩。圖4反映系統狀態在狀態空間演化過程及在不同采樣時間經過的控制器分區。

在產品生產過程中，若檢測到危險狀態集時，假設兩種情況

其中Xf1和Xf2代表危險狀態集。

先對系統進行形式驗證，在當前控制器作用下，如果系統初始狀態集中所有狀態不可達危險狀態集，則不需要重構控制器；反之，則需要重構控制器。根據形式驗證算法，得到驗證結果如圖5～圖6所示。

圖5～圖6中，綠色區域代表初始狀態集，紅色區域代表危險狀態集，藍色區域代表可達集。圖5中，系統初始狀態集中的狀態不可達危險狀態集，所以針對情況一，不需要對控制器進行重構。圖6中，系統初始狀態集中的狀態可達危險狀態集，所以針對情況二，需要應用顯式模型預測控制算法，重新設計滿足要求的控制器，仿真結果如圖7～圖8所示。

圖5 CSTR系統的形式驗證（情況一）Fig.5 Formal verification of CSTR system (Situation 1)

圖6 CSTR系統的形式驗證（情況二）Fig.6 Formal verification of CSTR system (Situation 2)

圖7 重構后的顯式模型預測控制器狀態分區Fig.7 Partitions of controller after reconfiguration

圖7中，新的顯式模型預測控制器共有43個不同的子控制率分布在320個狀態分區上。圖8中，在新的控制器作用下，系統仍然能夠從初始狀態x0達到期望的工作狀態，整個控制過程快速平穩且避開了不安全狀態。

圖8 重構后系統狀態演化過程的相平面圖Fig.8 Phase-plane diagram of state evolution under new controller

由于模型預測控制方法[20-21]在化工生產中有較為廣泛的應用，為了說明本文控制策略的高效性，與傳統的模型預測控制方法進行比較。仍然在上述條件下，仿真結果表明，采用傳統的模型預測控制方法，在K =68時，系統從初始狀態到達期望工作狀態，平均完成一次在線過程的時間為3320 ms，當出現危險狀態集時，均需要重新設計控制器；而采用本文控制策略，在K =42時，系統從初始狀態到達期望工作狀態，平均完成一次在線過程的時間為2.1 ms，當出現危險狀態集時，控制器重構的次數僅為1次。可以看出，本文控制策略在控制的實時性、所需的計算量和計算時間方面均優于傳統的模型預測控制方法。

5 結 論

本文闡述了一種基于PWA模型的控制策略，并將其應用到CSTR系統中進行仿真研究。仿真結果表明，PWA模型很好地反應了CSTR系統的特性，顯式模型預測控制可以使CSTR系統狀態快速平穩地達到期望的狀態（如穩定的工作點），在運行過程中，檢測到危險狀態集出現時，先對系統進行形式驗證，再決定是否需要對控制器進行重構。情況一不需要進行控制器重構，繼續使用當前控制器即可滿足控制要求；情況二則需要進行控制器重構，將重構后的控制器作用于系統，可以看出系統狀態演變過程避開了不安全狀態，滿足了新的控制要求。最后，與傳統的模型預測控制方法進行比較，說明了該控制策略的高效性。

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研究論文

Received date: 2015-12-07.

Foundation item: supported by the Natural Science Foundation of Shandong Province (2013ZRE28089).

Application of a control strategy based on PWA model in CSTR system

WANG Yuhong, YANG Pu
(College of Information and Control Engineering, China University of Petroleum (East China), Qingdao 266580, Shandong, China)

Abstract:There will be some abnormal working states in the process of chemical production, so the controller of the system often needs to be reconfigured in order to keep the system running normally. In view of this situation, a control strategy based on piecewise affine (PWA) model is proposed. In the strategy, a system is modeled in PWA form and an explicit model predictive control algorithm is applied to control the system. When abnormal operating points are detected, formal verification is first used to decide whether the controller needs to be reconfigured or not. By this way, it not only saves production time, but also improves the control efficiency. An application case study on CSTR system is given to illustrate the effectiveness of this strategy.

Key words:PWA model; explicit model predictive control; formal verification; CSTR; dynamic simulation

DOI：10.11949/j.issn.0438-1157.20151844

中圖分類號：TP 273

文獻標志碼：A

文章編號：0438—1157（2016）03—0865—06

基金項目：山東省自然科學基金項目（2013ZRE28089）。

Corresponding author:Prof. WANG Yuhong, y.h.wang@upc.edu.cn