考慮動態損耗的超磁致伸縮換能器的多場耦合模型

黃文美　薛胤龍　王　莉　翁　玲　王博文

(電磁場與電器可靠性省部共建重點實驗室(河北工業大學)　天津　300130)

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考慮動態損耗的超磁致伸縮換能器的多場耦合模型

黃文美薛胤龍王莉翁玲王博文

(電磁場與電器可靠性省部共建重點實驗室(河北工業大學)天津300130)

摘要在熱力學理論、Jiles-Atherton模型、能量守恒定律和換能器結構動力學原理的基礎上，考慮動態損耗帶來的影響，建立了包含磁-機-熱的耦合項的超磁致伸縮換能器的多場耦合模型。運用數值計算方法對所建立的模型進行了計算，計算結果與實驗結果吻合較好，說明所建立的多場耦合動態模型能夠描述驅動磁場和換能器的輸出應變之間的關系，能很好地描述換能器的實際工作狀態，為超磁致伸縮換能器設計研發提供理論指導。

關鍵詞：超磁致伸縮換能器多場耦合模型動態損耗溫度效應

0引言

超磁致伸縮材料(Giant Magnetostrictive Material，GMM)是一種新型智能材料，Terfenol-D作為其中的一種，具有磁致伸縮應變大、機電轉換效率高和能量耦合系數大等性能。超磁致伸縮換能器是以此材料為核心元件構成的一種將電能轉化成機械能的裝置，結構緊湊，能量密度大，可廣泛用于微位移控制、機械精密加工、金屬探傷、水下物體探測等領域。

超磁致伸縮換能器在工作中表現出強非線性的磁-機-熱多物理場耦合特性，多場耦合對換能器的作用異常復雜，這就使得考慮動態損耗的同時，建立能反映其換能器系統層次的多場耦合特性、頻率相關的磁化過程以及動態磁滯非線性的模型更為復雜。為了能夠有效模擬換能器的真實工作狀態，為換能器的廣泛應用提供理論基礎，有必要建立換能器的非線性動態模型。文獻[1，2]分別提出了基于能量的磁致伸縮材料的靜態和動態磁滯模型，模型和實驗結果吻合較好，但它們都只是磁致伸縮材料層次的模型，沒有考慮換能器系統的整體層次。文獻[3]基于熱力學原理，建立了超磁致伸縮材料磁-機-熱耦合本構模型，展現了強非線性特性，描述了溫度對于磁致伸縮應變和磁化強度的影響，但沒有考慮渦流及異常損耗，僅適用于低頻階段，且仍沒有結合換能器層次進行考慮。文獻[4，5]建立了超磁致伸縮換能器動態磁-機耦合模型，結合了換能器結構動力學原理，是建立在系統層次的模型，考慮了動態損耗的影響，然而這些模型忽略了溫度效應的影響。文獻[6]建立了考慮應力變化的換能器動態模型，并對溫升對換能器的影響做了實驗，表明溫度是不可忽略的因素。文獻[7]以磁致伸縮材料多場耦合為基礎，建立了磁-機雙向耦合的動態模型，但沒有考慮負載引起的棒內應力和磁場變化，沒有真正實現系統層次的耦合。文獻中很少有模型從磁致伸縮換能器系統層次來描述其多場耦合特性。本課題組建立了超磁致伸縮材料的磁-彈-熱多場耦合本構關系，建立了考慮動態損耗的磁-機-熱多場耦合磁致伸縮換能器模型，并通過數值計算方法對其求解。

本文從彈性Gibbs自由能角度出發，在熱力學關系、Jiles-Atherton模型、能量守恒定律、換能器結構動力學原理的基礎上，考慮交流驅動時的動態損耗，建立了超磁致伸縮換能器的磁-彈-熱多場耦合動態模型，利用此模型模擬換能器的輸出應變在溫度和動態損耗影響下的實際工作狀態。

1超磁致伸縮換能器結構和工作原理

超磁致伸縮換能器的結構示意如圖1所示。其工作原理為：在換能器的勵磁線圈中通入交流電流，會有交變磁場產生，此時Terfenol-D棒在驅動磁場作用下發生沿棒方向的伸縮變化，從而完成將電磁能轉換成機械能，以振動的形式來推動尾質量運動，實現位移和力的輸出。圖1中，配重的作用是確保Terfenol-D棒有單方向的位移輸出；預緊螺栓和蝶簧的作用是向Terfenol-D棒提供適當大小的軸向預壓應力，因為Terfenol-D棒在壓應力的作用下會有更大的磁致伸縮應變；永久磁鐵向Terfenol-D棒提供適當的偏置磁場，使Terfenol-D棒的機械頻率等于驅動磁場的頻率，從而避免“倍頻”現象。

圖1　超磁致伸縮換能器結構示意圖Fig.1　Schematic diagram of magnetostrictive transducer

2考慮動態損耗的多場耦合模型

2.1磁致伸縮材料整體應變模型

Terfenol-D棒通常被等效為一個熱力學系統來分析磁致伸縮材料復雜的磁-彈-熱多場耦合關系，根據彈性Gibbs自由能以及對其物理意義和實驗現象的分析，可以認為超磁致伸縮材料的應變可以寫成三部分[8]，即

ε=εσ+εT+λ

(1)

式中，第一部分為僅由應力產生的應變，第二部分為僅由溫度變化產生的熱膨脹應變，第三部分是磁致伸縮應變，是超磁致伸縮換能器設計及模型研究的核心問題。D.C.Jiles[9]描述磁化強度與磁致伸縮之間的關系式為

(2)

式中，γi(σ)是和應力有關的參數，σ表示應力；M為磁化強度。式(2)體現了磁-機耦合的關系，但并未考慮溫度的影響。基于式(2)，本文提出一個考慮溫度效應的磁化強度與磁致伸縮之間關系的拓展模型，即

(3)

式中，ΔT為溫度差值，ΔT=Ta-Tr，Ta為實際的環境溫度，Tr為自旋再取向溫度(對Terfenol-D來說，Tr=0 ℃)；γi(σ，ΔT)是與應力和溫度有關的系數。為了方便實際應用，取i=2。其中常數項僅為應力溫度系數，對多場耦合效應影響很小，從實用性角度出發，可以忽略，從而得到磁致伸縮表達式為

λ(M,σ,ΔT)=γ1(σ,ΔT)M2+γ2(σ,ΔT)M4

(4)

式中，γi(σ， ΔT)可用泰勒級數將其展開成關于應力溫度的多項式，即

(5)

式中，γix是當ΔT=0時的關于應力的偏導數；γiy是當σ=0時的關于溫度的偏導數，分別僅保留關于應力溫度的線性部分，可得

γ1(σ,ΔT)=γ11+γ12σ+γ13ΔT

(6)

γ2(σ,ΔT)=γ21+γ22σ+γ23ΔT

(7)

式中，γ11、γ12、γ13、γ21、γ22及γ23為材料的磁致伸縮系數，結合實驗曲線，在邊界給定的情況下，可通過測量不同應力溫度(如：σ=0 MPa；ΔT=20 ℃、40 ℃、60 ℃和ΔT=20 ℃；σ=5 MPa、10 MPa、15 MPa)下飽和磁化強度與飽和磁致伸縮獲得一組齊次方程，求解結果見表1。

表1　磁致伸縮模型參數取值

因此，結合式(4)～式(7)，整理化簡便可得磁致伸縮λ(M，σ，ΔT)的表達式為

λ(M,σ,ΔT)=γ11M2+γ21M4+σ(γ12M2+γ22M4)+

ΔT(γ13M2+γ23M4)

(8)

式中，前兩項是僅與磁化強度有關的磁致伸縮，第三項是磁化強度和應力耦合引起的磁致伸縮，第四項是磁化強度和溫度耦合引起的磁致伸縮。式(8)能清晰地體現換能器的多場耦合特性。從式(8)看出，式中的每一項都和磁化強度有關，由于磁致伸縮的六個系數確定，只要確定磁化強度，就能算出磁致伸縮應變的大小。

2.2磁化強度模型

有效磁場He將磁致伸縮模型和磁化強度耦合在一起來構成多場耦合的非線性模型。從自由能密度函數角度出發，可得到有效磁場標準形式為

(9)

式中，H為外加磁場強度；μ0為真空磁導率；α為疇壁相互作用系數。將式(8)代入到式(9)中得

σ(3γ12M+6γ22M3)+ΔT(3γ13M+6γ23M3)]

(10)

可將式(10)簡寫成

He=H+qM

(11)

這里

ΔT(3γ13+6γ23M2)]

(12)

為了使模型能夠運用在動態加載的情況下，因此考慮了動態損耗對磁化過程的影響。根據微磁學理論，材料或多或少會存在缺陷，使得疇壁停在材料內不動，形成釘扎效應，無論靜態還是動態，都會有釘扎損耗ΔLm，文獻[10]給出了動態加載條件下鐵磁材料中存在渦流損耗ΔLe和附加損耗ΔLa。

基于能量守恒關系，有

ΔWw=ΔWq+ΔLm+ΔLe+ΔLa

(13)式中，ΔWw為外加驅動磁場產生的能量；ΔWq為磁化過程中單位體積中的靜磁能。分別代入各能量表達式有

-μ0∫MdHe=-μ0∫MandHe-μ0∫ξKB(1-cB)dMirr+

(14)

式中，Mirr為不可磁化強度；D為棒的直徑；Sc為棒的橫截面積；β為材料的幾何因子，對于圓柱體，β=16；無量綱常數G0=0.135 6；H0是和材料疇壁相關的參數；ρ為材料的電阻率；ξ用來保證計算結果和其物理特性一致，在文獻[11]中有注明；KB和cB分別為考慮溫度T影響的釘扎系數和可逆因子，表達式分別為[12，13]

(15)

(16)

式中，K0為釘扎系數的初始值；c0為可逆系數的初始值。文獻[3]中給出的可逆磁化強度Man表達式為

(17)

等式兩邊同除μ0以后再進行微分，則式(14)變為

(18)

基于Jiles和Atherton的假設[14]，有

(19)

這里，δ是用來保證理論計算和Terfenol-D物理特性一致的參數。

式(19)兩邊乘上dH/dt，可得

(20)

再結合復合函數求導法則，可得

(21)

將式(11)對t求導并代入式(21)，可得

(22)

結合式(18)～式(22)，整理可得磁化方程為

(23)

運用牛頓迭代法可求解磁化強度變化率dM/dt，從而能夠計算出磁化強度，利用式(1)及式(8)求得Terfenol-D材料層次的應變，再結合下文的換能器的結構動力學原理來求解器件層次的換能器系統輸出應變。

2.3換能器結構動力學模型

從換能器系統層次上看，換能器模型還必須考慮加負載的情況，同時要考慮動態應力σ對磁化過程及整體應變的影響，文獻[15]簡潔地給出了下一時刻動態應力的公式，即

(24)

式中，ΔL為磁致伸縮棒的長度變化量；KL為等效剛度矩陣，相比文獻[16]中的動態應力復雜計算方法，其減少了計算時間，提高了效率，但未考慮棒本身阻尼的影響。基于結構動力學原理，文獻[17]只是將磁致伸縮作為了換能器輸出應變，給出了二階暫態動力學模型，本部分基于這些已有模型對換能器系統的結構動力學模型進行了推導。

對式(4)Terfenol-D應變的簡化表達為

(25)

式中

(26)

將文獻[17]換能器的結構動力學模型中磁致伸縮λ(t)替換成ω(t)，得到改進的模型為

(27)

式中，u(t)為位移矢量；ML、CL分別為等效質量和負載等效阻尼系數矩陣；F[ω(t)]為激勵矢量，各單元激勵源表達式為

(28)

式中，φ′(x)為數值計算的過程量，在文獻[17]中有說明。

通過對二階暫態動力學方程(式(27))的求解，可以得到換能器末端t時刻的位移矢量u(t)，從而求得換能器的整體輸出應變

(29)

式中，L為磁致伸縮棒的長度。

計算出t時刻的輸出應變，完成對換能器輸出的一次求解，再根據式(24)求解t+Δt時刻的動態應力，重新結合式(25)～式(29)，完成t+Δt時刻的計算，以此循環求解任意時刻的輸出應變。

3計算結果與分析

利用本課題組的實驗測試結果[8]及文獻[16]中的部分數據，對所建立的磁致伸縮換能器系統的動態模型進行了數值計算。用Matlab編程，模型計算時間2 min左右。

圖2為不同溫度下的λ-M關系曲線。從圖2可以看出，當環境溫度一定時，隨著磁化強度的增加，磁致伸縮增加。而當磁化強度為定值時，磁致伸縮隨著溫度的升高而減小。出現這種情況是因為溫度升高，熱擾動對磁疇內磁矩的有序排列增加，而磁化強度的增加不會削弱熱擾動帶來的影響。為了得到相同的磁致伸縮，100 ℃時需要的磁化強度要比0 ℃時大，因此磁致伸縮棒磁化過程中不能忽略溫度帶來的影響。

圖2　不同溫度下磁致伸縮-磁化強度關系Fig.2　Magnetostriction vs.magnetization at different temperatures

圖3　不同溫度的磁致伸縮-驅動磁場關系Fig.3　Magnetization vs.magnetic-field at different temperatures

圖3是預應力為-10 MPa下、不同溫度(20 ℃、40 ℃和80 ℃)的磁致伸縮曲線。圖中符號為實驗數據，連線為模型的計算結果。從曲線上可以看出，在中低磁場時，磁致伸縮隨著驅動磁場增加得很快；當磁場增加到一定值時，大部分的磁疇已經轉向了平行于驅動磁場的方向，磁致伸縮增加的幅度減弱，并逐漸趨向飽和。由于熱擾動的存在，阻礙磁疇的旋轉，使得溫度高時，磁致伸縮值較低，溫度對磁致伸縮飽和值的影響更為明顯。所以，溫度效應會影響磁致伸縮應變的大小，從而會影響換能器整體應變的輸出。

利用所建立的模型，在驅動磁場為20 kA/m且沒有偏置磁場、激勵頻率為1 kHz、環境溫度20 ℃、預應力-10 MPa的情況下，對驅動磁場和磁化強度的關系進行了模擬。從圖4可以看出，模型有效地描述了磁致伸縮棒的動態磁滯特性，理論計算結果和實驗結果[8]吻合較好，偏差量不超過3.86%。由于動態能量損耗的影響使得產生的磁滯損耗相比于靜態磁滯損耗要大得多。圖5描述了換能器的整體應變和驅動磁場之間的關系[16]，可以看出，在動態加載的情形下，忽略動態損耗的理論預測結果明顯高于換能器輸出應變的實驗值，同時磁滯回線的能量損耗也變小，而仿真和實驗數據吻合較好，輸出應變最大偏移量不超過4.21%，說明了所建立的考慮溫度變化和動態損耗影響的模型能夠準確描述超磁致伸縮換能器動態運行的特性，能夠描述在加載情況下換能器的真實運行情況。

圖4　頻率為1 000 Hz的磁化強度-驅動磁場關系Fig.4　Magnetization vs.magnetic field at 1 000 Hz

圖5　換能器輸出應變-驅動磁場的關系Fig.5　Output strain vs.magnetic field

4結論

為了反映超磁致伸縮換能器在實際動態加載下的工作情況，本文基于熱力學理論、Jiles-Atherton模型、能量守恒定律、換能器結構動力學原理建立了考慮動態損耗的電磁-機械-熱多場耦合模型，通過數值計算的方法模擬了換能器輸出應變和驅動磁場的關系，模型數值計算結果和實驗結果吻合較好，說明該模型能夠準確反映換能器系統層次的多場耦合效應與頻率相關的磁化過程和超磁致伸縮換能器的動態磁滯非線性特性。

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黃文美女，1969年生，博士，教授，研究方向為磁性材料與器件、電機電器及其控制。

E-mail：huzwm@hebut.edu.cn(通信作者)

薛胤龍男，1989年生，碩士研究生，研究方向為磁性材料與器件、電機電器及其控制。

E-mail：984871361@qq.com

Multi-Field Coupling Model Considering Dynamic Losses for Giant Magnetostrictive Transducers

HuangWenmeiXueYinlongWangLiWengLingWangBowen

(Key Laboratory of Electro-Magnetic Field and Electrical Apparatus Reliability of Hebei Province Hebei University of TechnologyTianjin300130China)

AbstractBased on the thermodynamic theory, the Jiles-Atherton model, the energy balance principle, and the structural dynamics principle of the transducer system, a multi-field coupling model of the giant magnetostrictive transducer is founded, which includes the magnetic-mechanical-thermal coupling terms and takes the dynamic losses into account. According to the proposed model, the relation between the magnet field and the output strain of the transducer is calculated using the numerical algorithm. Simulation results are in good agreement with the experimental ones, which indicates that the multi-fields coupling model considering the dynamic losses can well describe the actual working conditions of the transducer and provide theoretical guidance for design and development of the transducer in future.

Keywords：Giant magnetostrictive transducer, multi-field coupling model, dynamic losses, temperature effect

作者簡介

中圖分類號：TM153

收稿日期2014-06-19改稿日期2015-09-18

國家自然科學基金(51171057、51201055)，河北省自然科學基金(E2014202246)和河北省高等學校科學技術研究重點項目(ZD2015085)資助。