頻率偏移時基波幅值計算誤差對保護的影響及其改進算法

鄭作偉，江衛良，郝后堂，顧志飛

(國電南瑞科技股份有限公司，江蘇南京211106)

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頻率偏移時基波幅值計算誤差對保護的影響及其改進算法

鄭作偉，江衛良，郝后堂，顧志飛

(國電南瑞科技股份有限公司，江蘇南京211106)

摘要：分析了頻率偏移時傅里葉算法計算的基波幅值的誤差；分析了該誤差對使用基波幅值作為動作量的過量保護和欠量保護的影響。通過分析得出傅里葉算法計算的基波幅值是頻率為模擬量頻率兩倍的周期函數，在此基礎上提出了一種頻率偏移時基波幅值的改進算法，該算法通過把傅里葉算法計算出來的基波幅值在一個周期內求平均值再乘以一個與頻率相關的系數來求取實際的基波幅值。MATLAB仿真和裝置實測結果顯示，所提出的改進算法計算的基波幅值誤差很小，能夠滿足繼電保護裝置對模擬量精度的要求。

關鍵詞：頻率偏移；傅里葉算法；基波幅值；MATLAB

0引言

在繼電保護裝置中大部分保護都是使用模擬量的基波幅值作為保護的動作量[1]。如過流保護使用相電流的基波幅值作為動作量，差動保護使用差電流的基波幅值作為動作量。在繼電保護裝置中，基波幅值一般使用傅里葉算法進行計算。而在進行傅里葉計算時一般選取系統的額定頻率作為基波頻率。當模擬量的頻率為額定頻率時，使用傅里葉算法計算的基波幅值是正確的。但是在很多工況下，例如系統震蕩、過激磁和發電機起停機等過程中模擬量的頻率將偏移額定頻率，這時模擬量基波幅值的計算將有一定的偏差。為了提高在頻率偏移時模擬量基波幅值的測量精度，很多文獻在傅里葉算法的基礎上提出了一些改進算法[2-9]。這些文獻中的改進算法都顯著提高了基波幅值的測量精度，例如文獻[7]中給出了非同步采樣時DFT相角計算結果的精確誤差表達式，基于該誤差公式得到精確的幅值計算公式，具有方法簡單、計算精度高等特點，但是計算精度在一定程度上受到相角測量精度的影響。文獻[8]中提出了一種以固定高速頻率采樣后重新同步采樣來計算有效值的方法，該方法具有較好的精度和速度，但是高速采樣對硬件的要求相對較高。文獻[9]中通過跟蹤電網頻率，根據頻率動態調整采樣間隔的方法來提高模擬量幅值的計算精度，這種方法在微機繼電保護裝置中廣泛應用于頻率偏移比較小的場合，但是由于頻率跟蹤算法對微機繼電保護裝置計時等模塊可能有一定的影響，因此一般不用在頻率偏移比較大的場合。本文分析了各個頻率范圍內傅里葉算法計算的基波幅值的誤差及其對使用基波幅值作為動作量的過量保護和欠量保護動作行為的影響。在此分析的基礎上本文提出了一種頻率偏移時基波幅值的改進算法。MATLAB仿真和裝置實測結果顯示，本文提出的改進算法計算的基波幅值誤差很小，能夠滿足繼電保護的要求。使用本文改進算法作為基波幅值主要算法的發電機起停機保護已經應用于實際工程。

1算法推導

1.1傅里葉算法計算的幅值

目前繼電保護中對模擬量x(t)基波幅值的計算一般使用傅里葉算法，首先使用式(1)計算基波的實虛部，然后再使用計算出來的實虛部計算基波幅值。

(1)

式中：f0為傅里葉算法選取的基波頻率；t為時間。設模擬量x(t)的表達式為：

x(t)=Msin(2πft+2πfa)

(2)

式中：M為模擬量的基波幅值；2πfa為模擬量x(t)的初相角；f≠f0為模擬量的實際頻率，把式(2)代入式(1)，然后對式(1)求幅值可以得到模擬量x(t)基波幅值的表達式為：

(3)

其中：

(4)

傅里葉算法計算的基波幅值與實際的基波幅值的比值為：

(5)

從式(5)可以看出，傅里葉算法計算的基波幅值與實際的基波幅值相差了一個與時間相關的系數Ab(f,t)。因此當模擬量的頻率偏移傅里葉算法選取的基波頻率時，使用傅里葉算法計算的基波幅值將與實際不符。

1.2基波幅值對過量和欠量保護的影響

對于式(5)，如果：f>f0，那么：

(6)

如果：f

(7)

綜上，對于f≠f0的信號，傅里葉算法計算的基波幅值與實際基波幅值比值的最大值為：

max(Ab(f,t))=kmax(f,f0)

(8)

同理，傅里葉算法計算的基波幅值與實際基波幅值比值的最小值為：

min(Ab(f,t))=kmin(f,f0)

(9)

我國電力系統的額定頻率為50 Hz，因此f0=50。在(0～100)Hz的頻率范圍內，以0.01 Hz為間隔對比值的最大值和最小值進行離散化求解。對求解的結果分析如表1所示。

表1　各頻率范圍內基波幅值比值最大值和最小值的范圍

從表(1)中可以看出，當頻率落入(46.11～54.10)Hz這個范圍內時，使用傅里葉算法計算的基波幅值的最大值和最小值都落在(0.95～1.05)倍實際基波幅值之間，計算誤差在5%以內。繼電保護對保護動作量相對誤差的要求一般是5%，因此，在這個頻率范圍內，基波幅值的計算誤差對過量保護和欠量保護不會造成太大的影響。

當頻率落入(00.00～30.24)Hz和(66.37～99.99)Hz這兩個范圍內時，使用傅里葉算法計算的基波幅值的最大值和最小值都落在0.95倍實際基波幅值以下，特別是最小值落在0.715 6倍實際基波幅值以下。如果實際的基波幅值與保護定值一樣，由于計算的基波幅值較小過量保護將拒動，而欠量保護將誤動。

當頻率落入(30.25～46.10)Hz和(54.11～66.36)Hz這兩個范圍內時，使用傅里葉算法計算的基波幅值的最大值與實際基波幅值的誤差在5%以內，而最小值比實際基波幅值小5%以上，最小的僅達到0.574 8倍實際基波幅值。在實際的基波幅值與保護定值一樣的前提下，如果保護整定的延時較小，那么對于過量保護當基波幅值在最大值附近達到整定時間時保護才有可能動作，對于欠量保護當基波幅值在最小值附近達到整定時間時保護將誤動。如果保護整定的延時較長，過量保護和欠量保護將有可能處于交替的啟動和返回狀態。

文獻[10]指出，電力系統正常運行時允許的頻率偏移為(±0.2～±0.5)Hz，因此在正常運行時頻率都能夠落在(46.11～54.10)Hz這個范圍內，此時使用傅里葉算法計算的基波幅值對過量保護和欠量保護不會造成太大的影響。在繼電保護裝置實際處理中，當頻率偏移50 Hz不多時(例如在(45～55)Hz范圍內)一般使用頻率跟蹤算法來提高模擬量基波幅值的計算精度[9]，但是由于頻率跟蹤算法對繼電保護裝置計時等模塊可能有一定的影響，因此一般不用在頻率偏移額定頻率比較多的情況。對于頻率偏移額定頻率較多的情況(例如發電機起停機過程)下需要投入的過量保護或者欠量保護來說，需要探討一種能夠準確反映實際基波幅值的計算方法。

1.3基波幅值的改進算法

A(f,t)和Ab(f,t) 都是周期函數，推導如下：

(10)

同理有：

(11)

即：對于頻率為f的模擬量，使用傅里葉算法計算的基波幅值以及計算的基波幅值與實際基波幅值的比值都是頻率為2f的周期信號，其頻率為模擬量頻率的兩倍。

對于周期信號，任何起點開始的一個周期的平均值是恒定不變的。設A(f,t)和Ab(f,t)在(t-1/2f,t)這個周期內的平均值分別為Ae(f,t)和Abe(f,t)，可以證明Ae(f,t)=MAbe(f,t)，從而得到實際基波幅值的計算公式為：

(12)

基于此特征，可以使用以下步驟計算模擬量的基波幅值：

Step1.測量模擬量的頻率f，計算其基波幅值A(f,t)在(t-1/2f,t)這個周期內的平均值Ae(f,t)。

Step2.計算比值Ab(f,t)在(t-1/2f,t)這個周期內的平均值Abe(f,t)。

Step3.使用式(12)計算模擬量的實際基波幅值。

使用傅里葉算法計算基波幅值需要的時間為1/f0,計算模擬量在其基波幅值一個周期內的平均值需要的時間為1/2f，因此使用本文改進算法計算基波幅值的時間窗為1/f0+1/2f。

在微機繼電保護裝置中，數據采集和處理都是離散的，上述的各個計算過程在繼電保護裝置中都使用離散的方法進行處理。因此繼電保護裝置中對模擬量基波幅值的計算步驟如下：

Step1.在需要計算的頻率范圍內對頻率進行離散化，事先求取各個離散頻率處的Abe(f)(對于固定的f，Abe(f,t)是一個固定值，記為Abe(f))的倒數并存在一個數據表格里面。

Step2.使用離散傅里葉變換實時計算模擬量的基波幅值A(f,n) (n為各個采樣點序號)。

Step3.使用測頻算法測量模擬量的頻率f。

Step4.求取A(f,n)在當前點往前1/2f時間內的平均值Ae(f,n)。

Step5.根據頻率f在Step1計算出來的表格中查詢對應的Abe(f,n) (此時的f可能是變化的，Abe(f)在不同采樣點可能不是一個固定值，采樣點n的Abe(f)記為Abe(f,n))的倒數。

Step6.使用式(12)求取模擬量的實際基波幅值。

2仿真分析

使用MATLAB對本文中的改進算法進行數值仿真，仿真時對模擬量的采樣頻率為每秒2 000點，頻率測量使用文獻[11]中的測頻算法。

2.1頻率不變時的仿真結果

表2　模擬理想波形時幅值的計算誤差

表3　模擬實際波形時幅值的計算誤差

從表2和表3可以看出，使用傅里葉算法計算的基波幅值的誤差非常大；當模擬量為理想波形時，使用本文改進算法計算的基波幅值精度非常高，在所仿真的幾個頻率內，最大誤差小于0.3%，驗證了本文算法的正確性；當模擬量模擬實際波形時，使用本文改進算法計算的基波幅值在所仿真的幾個頻率內，平均誤差最大的小于0.6%，最大誤差也只有2.41%，能夠滿足繼電保護對模擬量精度5%誤差的要求。

2.2頻率變化時的仿真結果

圖1　頻率變化時幅值的仿真結果

在10～90 Hz這個范圍內使用傅里葉算法計算的基波幅值的最大相對誤差Errmax1以及平均相對誤差Errmean1，使用本文改進算法計算的基波幅值的最大相對誤差Errmax2以及平均相對誤差Errmean2如表4所示。

表4　頻率變化時幅值的計算誤差

從圖1和表4可以看出，當頻率在10～90 Hz這個頻率范圍緩慢變化時，使用傅里葉算法計算的基波幅值的最大誤差達到92.28%，平均誤差也有28.64%，誤差非常大。使用改進算法計算的基波幅值的最大誤差僅有3.97%，平均誤差僅有0.23%。說明在頻率緩慢變化時改進算法的計算精度依然很高，能夠滿足繼電保護對模擬量精度5%誤差的要求。

3裝置實測分析

本文的改進算法已經在發變組保護裝置中用于發電機起停機保護幅值的計算，保護裝置對模擬量的采樣頻率為每秒2000點，頻率測量使用文獻[11]中的測頻算法。由于裝置界面上顯示的模擬量幅值刷新速度較慢，為便于分析，裝置實測時加入了調試程序，把傅里葉算法和改進算法計算出來的基波幅值都寫入錄波文件，通過錄波文件可以分析每個采樣點得到的基波幅值。

表5　裝置實測時幅值的計算誤差

從表5可以看出，裝置實測結果與仿真分析的結果一致，使用本文改進算法計算的幅值精度有了顯著的改善，計算誤差最大值僅有0.96%，能夠滿足繼電保護對模擬量精度5%誤差的要求。

4結論

本文分析了傅里葉算法選取的基波頻率與需要計算的模擬量的基波頻率不一致時，傅里葉算法計算的基波幅值對使用基波幅值作為動作量的過量保護和欠量保護的影響，提出了一種基波幅值的改進算法，該改進算法在頻率偏移時能夠正確計算模擬量的基波幅值，具有一定的工程應用價值。

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Effects of the Fundamental Amplitude’s Calculational Errors when Frequency Offset on Protections and Its Improved Algorithm

ZHENG Zuowei，JIANG Weiliang，HAO Houtang，GU Zhifei(NARI Technology Development Co., Ltd.,Nanjing 211106,China)

Abstract：In this paper, analyses of the fundamental amplitude errors calculated by DFT when frequency offsets and effects of the errors on over protections and less protections which use the fundamental amplitude as action values are conducted. The facts that fundamental amplitude calculated by DFT is a periodic function and its period is twice of the input signal can be found. Hence an improved algorithm to calculate the fundamental amplitude when frequency offsets is putted forward based on the above facts, which calculates the fundamental amplitude by the product of the average value of the fundamental amplitudes calculated by DFT in one cycle and a coefficient related to the frequency. MATLAB simulation and test on practical device shows that, the errors of fundamental amplitude calculated by the improved algorithm when frequency offsets are very small, thus the errors can meet the requirements of the analog accuracy for power relay equipments.

Keywords：frequency offset; FT; fundamental amplitude; MATLAB

中圖分類號:TM77

文獻標識碼:A

DOI:10.3969/j.issn.1672-0792.2016.03.004

作者簡介：鄭作偉(1984-)，男，工程師，主要研究方向為微機保護和變電站綜合自動化，E-mail：zhengzuoweiwork@163.com。

收稿日期：2015-12-21。